Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Einführung/Textabschnitt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung vom Grad $n$. Die Galoisgruppe, d.h. die Gruppe der $K$-Algebraautomorphismen von $L$, besteht also aus $n$ Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nach dem Satz über die Galoiskorrespondenz den Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nach Fakt auch auf dem ganzen Abschluss $S$ von $R$ in $L$. Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung  $R\subseteq S$  zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung aus Fakt im Galoisfall vereinfacht.

Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$,  $K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ und sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei $𝔭$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$.

Dann stimmen in der Primidealzerlegung

$𝔭S={𝔮}_1^{e_1}\cdots {𝔮}_k^{e_k}$

die Exponenten $e_i$ überein und ebenso stimmen die Trägheitsgrade $f_i$ überein. Dabei ist

$n=kef.$

Beweis

Es seien $𝔮$ und ${𝔮}^{\prime }$ Primideale oberhalb von $𝔭$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus  $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$  mit  $\sigma (𝔮)={𝔮}^{\prime }$.  Daher gibt es einen $R_{𝔭}$-Algebraisomorphismus $\sigma :S_{𝔮}\to S_{{𝔮}^{\prime }}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen $\kappa (𝔭)$-Isomorphismus der Restekörper

$\kappa (𝔮)⟶\kappa ({𝔮}^{\prime }),$

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.

$◻$

Es sei $𝔭$ ein Primideal aus $R$ und seien ${𝔮}_1,\dots ,{𝔮}_k$ die Primideale von $S$ oberhalb von $𝔭$. Gemäß Fakt und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus

$G⟶\mathrm{Perm}({𝔮}_1,\dots ,{𝔮}_k)$

bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über $𝔭$ steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad $n$ ist, und wenn, im total zerlegten Fall, die Faser aus $n$ Primidealen besteht, so steht links (im Galoisfall) eine Gruppe mit $n$ Elementen und rechts eine Gruppe mit $n!$ Elementen, was nur bei  $n\le 2$  übereinstimmt. Wenn hingegen, im unzerlegten Fall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus  $\sigma \in G$  gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter $\sigma$ auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe.

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man

$G_{𝔮}=\{\sigma \in G\mid \sigma (𝔮)=𝔮\}$

die Zerlegungsgruppe zu $𝔮$.

Man spricht auch von der Isotropiegruppe oder dem Stabilisator zu $𝔮$. Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass $𝔮$ auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf $𝔮$ die Identität ist.

Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$ über $𝔭$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ ist genau dann trivial, wenn $𝔭$ voll zerlegt ist.
2. Die Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ ist genau gleich $G$, wenn $𝔭$ unzerlegt ist.
3. Zu einem weiteren Primideal ${𝔮}^{\prime }$ oberhalb von $𝔭$ sind die Zerlegungsgruppen $G_{𝔮}$ und $G_{{𝔮}^{\prime }}$ isomorph.
4. Es ist

   $\mathrm{\#}\left(G_{𝔮}\right)=ef,$

   wobei $e$ der gemeinsame Verzweigungsindex und $f$ der gemeinsame Trägheitsgrad der Primideale oberhalb von $𝔭$ ist.

Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). Nach Fakt gibt es ein  $\tau \in G$  mit  $\tau (𝔮)={𝔮}^{\prime }$.  Mittels $\tau$ kann man direkt den Isomorphismus

$G_{𝔮}⟶G_{{𝔮}^{\prime }},\sigma ⟼\tau \circ \sigma \circ {\tau }^{-1},$

angeben. Es ist ja

$(\tau \circ \sigma \circ {\tau }^{-1})({𝔮}^{\prime })=\tau (\sigma ({\tau }^{-1}({𝔮}^{\prime })))=\tau (\sigma (𝔮))=\tau (𝔮)={𝔮}^{\prime }.$

(4). Wir zerlegen $G$ abhängig davon, auf welches Primideal $𝔮$ abgebildet wird, also

$G=\underset{{𝔮}^{\prime }}{⨄}\{\rho \in G\mid \rho (𝔮)={𝔮}^{\prime }\}.$

Dabei ist die Untergruppe $G_{𝔮}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja

$\{\rho \in G\mid \rho (𝔮)={𝔮}^{\prime }\}=\tau G_{𝔮}$

gilt, wenn $\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der $𝔮$ in ${𝔮}^{\prime }$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es $k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad $n$ hat und die Galoisgruppe somit $n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe $\frac{n}{k}$ Elemente, was nach Fakt mit $ef$ übereinstimmt.

$◻$

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ den Zerlegungskörper zu $𝔮$. Er wird mit $Z_{𝔮}$ bezeichnet.

Den Ganzheitsring zum Zerlegungskörper nennt man Zerlegungsring.

Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$ über $𝔭$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   $G_{𝔮}⟶\mathrm{Gal}(\kappa (𝔮)/\kappa (𝔭)).$

2. Wenn die Erweiterung der Restekörper separabel ist, so handelt es sich bereits um eine Galoiserweiterung, und der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv.
3. Wenn $𝔮$ zusätzlich unverzweigt ist, so liegt ein Isomorphismus vor.

Beweis

1. Es sei  $\sigma \in G_{𝔮}$,  also  ${\sigma }^{-1}(𝔮)=𝔮$.  Dies induziert einen Ringautomorphismus (der $R$ fest lässt)

   $\sigma :S_{𝔮}⟶S_{𝔮}$

   und einen Körperautomorphismus

   $\sigma :\kappa (𝔮)⟶\kappa (𝔮),$

   der $\kappa (𝔭)$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung  $\kappa (𝔭)\subseteq \kappa (𝔮)$.  Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms

   $\begin{array}{cccccc}{S}_{𝔮}& \stackrel{\sigma }{⟶}& S_{𝔮}& \stackrel{\tau }{⟶}& S_{𝔮}& \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ \kappa (𝔮)& \stackrel{\sigma }{⟶}& \kappa (𝔮)& \stackrel{\tau }{⟶}& \kappa (𝔮)& .\end{array}$

2. Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir $K$ durch den Zerlegungskörper und $𝔭$ durch den Schnitt von $𝔮$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also $𝔮$ das einzige Primideal oberhalb von $𝔭$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element

   $\kappa (𝔭)\subseteq \kappa (𝔮)=\kappa (𝔭)[z]$

   ansetzen, wobei wir unmittelbar  $z\in S$  annehmen können. Es sei  $P\in R[X]$  das Minimalpolynom von $z$ über $R$. Es ist also  $P(z)=0$  in $S$ und damit insbesondere  $P(z)=0$  in $\kappa (𝔮)$. Da  $K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt $P$ in $L[X]$ und damit wegen Fakt auch in $S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in $\kappa (𝔮)[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von $z$ über $\kappa (𝔭)$, was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist.

   Es sei nun

   $\tau :\kappa (𝔮)=\kappa (𝔭)[z]⟶\kappa (𝔮)=\kappa (𝔭)[z]$

   ein $\kappa (𝔭)$-Körperautomorphismus, der den Erzeuger $z$ auf ein Element  $w\in \kappa (𝔮)$  schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle $w$ von $P$ in $L$ annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein $K$-Automorphismus von $L$, der $z$ in $w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit $\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.

3. Nach Fakt  (4) ist im unverzweigten Fall  $\mathrm{\#}\left(G_{𝔮}\right)=f$  und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung

   $\kappa (𝔭)\subseteq \kappa (𝔮).$

   Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls $f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.

$◻$

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man

$I_{𝔮}=\{\sigma \in G_{𝔮}\mid \sigma {|}_{\kappa (𝔮)}=\mathrm{Id}\}$

die Trägheitsgruppe zu $𝔮$.

Es liegt also eine Kette von Untergruppen

$I_{𝔮}\subseteq G_{𝔮}\subseteq G$

vor.

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe $I_{𝔮}$ den Trägheitskörper zu $𝔮$. Er wird mit $T_{𝔮}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper  $K=Q(R)$  und sei  $K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei $𝔮$ ein Primideal von $S$. Die Erweiterung der Restekörper sei separabel.

Dann ist die Ordnung der Trägheitsgruppe $I_{𝔮}$ gleich dem Verzweigungsindex von $𝔮$.

Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in $𝔮$ keine Verzweigung vorliegt.

Beweis

Nach Fakt  (2) liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}{I}_{𝔮}\stackrel{}{⟶}{G}_{𝔮}\stackrel{}{⟶}\mathrm{Gal}(\kappa (𝔮)/\kappa (𝔭))\stackrel{}{⟶}0$

vor. Die Ordnung der Galoisgruppe rechts ist der Trägheitsgrad $f$ und die Ordnung der Zerlegungsgruppe $G_{𝔮}$ ist nach Fakt gleich $ef$, wobei $e$ den Verzweigungsindex bezeichnet. Deshalb ist die Ordnung der Trägheitsgruppe gleich $e$.

$◻$