Krullscher Durchschnittssatz/Aus Artin-Rees/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul. Dann sind für ${}v\in M$ folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}v\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M$.
2. Es gibt ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}(1-f)v=0$.

Beweis

Wir betrachten den ${}R$-Untermodul

${}N=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,.$

Für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt

${}N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\,.$

Wir können das Lemma von Artin-Rees anwenden und erhalten für ${}n$ hinreichend groß

${}N={\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{1}({\mathfrak {a}}^{n-1}M\cap N)={\mathfrak {a}}N\,.$

In dieser Situation können wir das Lemma von Nakayama anwenden und erhalten die Existenz eines ${}f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}1-f$ den Modul ${}N$ annulliert. Jedes Element aus ${}N$ wird also von ${}1-f$ annulliert. Wenn es umgekehrt zu ${}v\in M$ ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit

${}(1-f)v=0\,$

gibt, so ist

${}v=1v=fv=ffv=fffv=\ldots \,,$

also ${}v\in {\mathfrak {a}}^{n}M$ für alle ${}n$.

$\Box$

Zu einem nichttrivalen idempotenten Element ${}e\in R$, also einem Element ${}e\neq 0,1$ mit ${}e=e^{2}$ ist

${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }Re^{n}=Re\,.$

Ansonsten ist aber der Durchschnitt über alle Potenzen eines Ideals in einem noetherschen Ring sehr häufig gleich ${}0$, wie die folgenden beiden weiteren Versionen des Krullschen Durchschnittssatzes zeigen.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ein Ideal.

Dann ist ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}=0$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt für ${}M=R$. Wenn nämlich ${}v$ im Durchschnitt ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ liegt, so gibt es ein

${}f\in {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

mit ${}(1-f)v=0$. Im lokalen Fall ist ${}1-f$ eine Einheit und somit ist ${}v=0$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal.

Dann ist ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}=0$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt für ${}M=R$. Wenn nämlich ${}v$ im Durchschnitt ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$ liegt, so gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}(1-f)v=0$. Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft muss ein Faktor ${}=0$ sein. Wegen ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ist ${}f\neq 1$. Also ist ${}v=0$.

$\Box$