Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 15

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring, sei ${}u\in B^{\times }$ eine Einheit und sei ${}X^{n}-u$ irreduzibel in ${}B[X]$. Zeige, dass

${}R=B[X]/{\left(X^{n}-u\right)}\,$

normal ist, falls ${}n$ eine Einheit in ${}B$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring, in dem ${}2$ eine Einheit sei, und sei ${}p$ eine Ortsuniformisierende von ${}B$. Bestimme, für welche ${}m$ der Ring

${}R=B[X]/{\left(X^{2}-p^{m}\right)}\,$

ein normaler Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}S\subseteq L$ eine endliche Ringerweiterung von ${}\mathbb {Z}$. Zeige, dass ${}S$ genau dann normal ist, wenn für jede Primzahl ${}p$ die Nenneraufnahme ${}S_{\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} p}$ normal ist.

Aufgabe

Bestimme für welche Primzahlen ${}p$ das Polynom ${}X^{2}+3\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ irreduzibel ist bzw. in einfache Linearfaktoren zerfällt. Für welche Primzahlen ist ${}\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{2}-3)$ normal?

Aufgabe *

1. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$.
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$.
4. Man finde eine positive Zahl ${}n$ derart, dass für alle Primzahlen ${}p$, die ${}n$ nicht teilen, der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
5. Bestimme, ob ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich ist.

Aufgabe

Beweise Satz 9.8 mit Korollar 15.3 und einer Sonderbetrachtung für diejenigen Primzahlen, die dadurch nicht abgedeckt sind.

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Polynom ${}P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${}F\in K[X]$ von ${}P$ ebenfalls separabel ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom, das in ${}\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel ist. Zeige, dass für alle Primzahlen ${}p$ bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der Primfaktorzerlegung von ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ einfach sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

$K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-X^{n}),\,Y\longmapsto X^{n},$

die ${}n$-te Potenzabbildung. Bestimme zu ${}b\in K$ den Faserring über ${}(Y-b)$. Wann sind alle Primfaktoren von ${}X^{n}-b$ einfach?

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome ${}X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]$ für jedes ${}n\geq 1$ irreduzibel sind.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom der Form ${}X^{n}-p^{2}\in \mathbb {Q} [X]$ mit einer Primzahl ${}p$ im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring. Zu einem von ${}0$ verschiedenen Polynom ${}P\in B[X]$ sei ${}\operatorname {ord} (P)$ die minimale Ordnung der Koeffizienten von ${}P$. Zeige

${}\operatorname {ord} (PQ)=\operatorname {ord} (P)+\operatorname {ord} (Q)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$ und es sei ${}P\in R[X]$ ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten. Zeige

${}(P)R[X]=R[X]\cap (P)K[X]\,.$

Zeige ferner, dass die Voraussetzung über die Teilerfremdheit notwendig ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K$ und es sei ${}P\in R[X]$ ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten, das in ${}K[X]$ irreduzibel sei. Zeige, dass ${}P$ auch in ${}R[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {Z} [X]$ ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in ${}\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel sei. Zeige, dass ${}P$ auch in ${}\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale, reduzierte ${}K$-Algebra. Zeige, dass dann ${}A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${}K$ ist.