Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 15

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring, sei eine Einheit und sei irreduzibel in . Zeige, dass

normal ist, falls eine Einheit in ist.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring, in dem eine Einheit sei, und sei eine Ortsuniformisierende von . Bestimme, für welche der Ring

ein normaler Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine endliche Ringerweiterung von . Zeige, dass genau dann normal ist, wenn für jede Primzahl die Nenneraufnahme normal ist.


Aufgabe

Bestimme für welche Primzahlen das Polynom irreduzibel ist bzw. in einfache Linearfaktoren zerfällt. Für welche Primzahlen ist normal?


Aufgabe *

  1. Zeige, dass das Polynom in irreduzibel ist.
  2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von in .
  3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von in .
  4. Man finde eine positive Zahl derart, dass für alle Primzahlen , die nicht teilen, der Faserring reduziert ist.
  5. Bestimme, ob ein Zahlbereich ist.


Aufgabe

Beweise Satz 9.8 mit Korollar 15.3 und einer Sonderbetrachtung für diejenigen Primzahlen, die dadurch nicht abgedeckt sind.


Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist separabel.
  2. Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
  3. und die Ableitung sind teilerfremd.
  4. und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom, das in irreduzibel ist. Zeige, dass für alle Primzahlen bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der Primfaktorzerlegung von einfach sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und

die -te Potenzabbildung. Bestimme zu den Faserring über . Wann sind alle Primfaktoren von einfach?


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome für jedes irreduzibel sind.


Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom der Form mit einer Primzahl im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring. Zu einem von verschiedenen Polynom sei die minimale Ordnung der Koeffizienten von . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper und es sei ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten. Zeige

Zeige ferner, dass die Voraussetzung über die Teilerfremdheit notwendig ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper und es sei ein Polynom mit teilerfremden Koeffizienten, das in irreduzibel sei. Zeige, dass auch in irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in irreduzibel sei. Zeige, dass auch in irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.



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