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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 16

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Reine kubische Gleichungen

Wir interessieren uns für den Ganzheitsring zur reinen kubischen Körpererweiterung mit . Wenn in der Primfaktorzerlegung von eine Primzahl mit einem Exponenten vorkommt, so kann man vorziehen und erhält mit der neuen Variablen eine neue Darstellung der Körpererweiterung. Deshalb gehen wir direkt davon aus, dass in nur Primzahlen mit einem Exponenten oder vorkommen. Wir können also mit und quadratfrei und zueinander teilerfremd ansetzen.



Es seien und teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide , und sei die zugehörige kubische Körpererweiterung. Wir setzen und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. und sind ganze Elemente in .
  2. Es ist
  3. Wenn gilt, so ist der Ganzheitsring von , und bilden eine Ganzheitsbasis.
  4. Bei gehört auch zum Ganzheitsring, und bilden eine Ganzheitsbasis.

Das Polynom besitzt keine rationale Nullstelle, ist also irreduzibel und somit liegt eine Körpererweiterung vom Grad vor.

  1. Es ist unmittelbar klar, dass zu gehört und eine Ganzheitsgleichung erfüllt. Ferner ist

    d.h. gehört ebenfalls zu , die Ganzheit ist klar.

  2. Wegen liegen auch diese kubischen Terme in dem Ideal. Wir haben durch und einen surjektiven Ringhomomorpismus

    da und die angegebenen Relationen erfüllen. Diese Relationen zeigen auch, dass rechts die Gruppe steht, da man alle Produkte darin schon ausdrücken kann. Eine weitere Relation kann es nicht geben, da über linear unabhängig sind.

  3. Wir zeigen nun, dass unter der angegebenen Bedingung normal ist. Wenn eine Primzahl weder in noch in vorkommt und nicht ist, so ist

    da man schreiben und überall ersetzen kann, da in eine Einheit ist. Die entstehenden Erzeuger sind und Vielfache davon. Die Faser über ist somit mit einer Einheit . Das beschreibende Polynom und seine Ableitung erzeugen das Einheitsideal (die Faser über ist also reduziert) und damit ist nach Korollar 15.2 die Nenneraufnahme von an normal.

    Es sei nun ein Teiler von (wobei der Fall erlaubt ist). Dann ist wieder . Modulo ist dies , somit ist das einzige Primideal oberhalb von gleich . Da wir

    mit und teilerfremd schreiben können, gilt

    und daher wird dieses Primideal von erzeugt. Diese Nenneraufnahmen sind also auch normal.

    Betrachten wir nun

    und nehmen weiter an, dass weder in noch in vorkommt. Dann kann man wieder die Nenneraufnahme monogen als beschreiben. Modulo ist dies

    und somit liegt über das einzige Primideal . Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen ein Erzeuger dieses Ideals ist. Der Ring modulo ist

    da in unserem Fall und Einheiten sind. Es geht darum, ob dieser Ring gleich ist oder nicht, und somit geht es darum, ob die Ordnung von gleich oder höher ist. Wir schreiben und und betrachten zuerst den Fall, wo ist. Dann ist und wir müssen betrachten. Modulo ist dies . Dabei gilt

    genau in den Fällen

    Bei ist und wir müssen betrachten. Dabei gilt

    genau in den Fällen

    Unter der Voraussetzung ist also der Exponent der in genau . Somit ist und das einzige Primideal oberhalb von ist in der Lokalisierung auch ein Hauptideal.

  4. Es ist

    Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms dieses Elementes sind nach Aufgabe 16.2 gleich , und

    Unter der Bedingung ist , wir setzen und . In diesen Fällen ist

    also stets ein Vielfaches von . Ferner ist

    Bei ist dies sogar ein Vielfaches von . Bei sind die hinteren Summanden zusammen gleich

    also ein Vielfaches von und daher ist ganz.

    Wir zeigen nun, dass die von erzeugte Algebra normal ist. Es sei

    mit ein Element, das über eine Ganzheitsgleichung erfüllt, und wir müssen zeigen, dass es zu gehört. Aufgrund der Spurbedingung ist ganzzahlig. Wir ziehen (oder ) von ab und können dann annehmen. Die weiteren Koeffizientenbedingungen an das charakteristische Polynom besagen, dass und ganzzahlig sind. Da kein Vielfaches von ist, ist

    also oder , und

    Im ersten Fall folgt wegen der letzten Bedingung auch die Bedingung im zweiten Fall und umgekehrt, d.h. die Ordnung von und an der Stelle ist . Wegen der Normalität an den anderen Primzahlen folgt überhaupt, dass und ganzzahlig sind.



Es sei eine Primzahl mit (was bei stets der Fall ist).

Dann ist der Ganzheitsring zur Körpererweiterung

gleich .

Bei ist

ganz über mit dem Minimalpolynom

In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die Ganzheitsbasis .

Dies ist der Spezialfall von Satz 16.1 mit und . In diesem Fall ist

und



Wir betrachten die Körpererweiterung

Der Ganzheitsring ist

nach Korollar 16.2. Das ist keine Galoiserweiterung, da das Polynom über (und reell) nicht zerfällt. Oberhalb von liegt das einzige Primideal . Für eine ungerade Primzahl mit sind und teilerfremd und daher ist die dritte Potenz

eine Bijektion. Insbesondere besitzt die eine eindeutig bestimmte dritte Wurzel und es gibt eine Faktorzerlegung

in , wobei der hintere Faktor irreduzibel ist. Deshalb liegen über in der Erweiterung zwei Primideale, wobei deren Restekörper einerseits und andererseits ist. Inssbesondere sind diese nicht zueinander isomorph. Bei ist beispielsweise

und

und somit

Bei

ist ein Teiler von und daher gibt es drei dritte Einheitswurzeln in . Wenn die in eine dritte Wurzel besitzt, so besitzt sie sogar drei dritte Wurzeln und die Faser zerfällt in drei Punkte, deren Restekörper sind. Wenn die in keine dritte Wurzel besitzt, so besteht die Faser aus einem einzigen Punkt, dessen Restekörper der Körper mit Elementen ist.

Sei . Dritte Einheitswurzeln sind . Die andere dritte Potenz ist

D.h. ist keine dritte Potenz und ist ein Körper mit Elementen.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind . Die weiteren dritten Potenzen sind , die ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind . Die weiteren dritten Potenzen sind , die ist also wieder keine dritte Potenz.

Sei . Die dritten Einheitswurzeln sind .

Hier ist

D.h. es ist

die Faser besteht also aus drei Punkten, die alle den Restekörper besitzen.


Die zusätzliche Ganzheitsgleichung ist bei einer Primzahl erstmals bei zu berücksichtigen.


Wir betrachten den Zahlbereich zur Körpererweiterung

dieser besitzt nach Korollar 16.2 die Beschreibung

mit

und wobei die Ganzheitsgleichung

erfüllt.




Es seien und teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen, nicht beide , und sei die zugehörige kubische Körpererweiterung mit dem Ganzheitsring . Dann gilt für die Diskriminante von folgende Beschreibung.

  1. Bei ist die Diskriminante von gleich .
  2. Bei ist die Diskriminante von gleich .

Wir setzen und . Nach Satz 16.1 ist der Ganzheitsring gleich und ist eine Ganzheitsbasis, ferner ist . Wir berechnen zuerst die Diskriminante zu . Dabei ist und . Die Spur von und von ist gleich , daher ist

Die Übergangsmatrix zwischen und hat die Determinante , daher ist die Diskriminante des Zahlbereiches nach Lemma 8.2 gleich .

Im zweiten Fall bleibt die bisherige Rechnung gültig, doch ist jetzt eine Ganzheitsbasis. Die Übergangsmatrix zwischen den Basen und ist

mit der Determinante . Dies ergibt den Faktor .


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