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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 24

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Aufgaben

Zeige, dass der Einheitskreis

isomorph zu ist.



Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters .



Es seien vollständige Gitter. Zeige, dass es eine - lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.



Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine - lineare Abbildung

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

induziert.



Es seien rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter mit gibt.



Alle Springmäuse leben in und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung und den Sprung . Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

Welche Springmäuse können sich begegnen?



Sind alle Vierecke konvex?



Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.



Es sei eine Teilmenge des . Zeige, dass ein Punkt genau dann zur konvexen Hülle von gehört, wenn es endlich viele Punkte , , und reelle Zahlen , , mit , und mit

gibt.



Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.



Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.



Es sei ein Hausdorff-Raum, eine kompakte Teilmenge und ein Punkt. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen mit und gibt.



Es sei ein Hausdorff-Raum und seien kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen mit und gibt.



Es sei ein metrischer Raum und seien kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es ein derart gibt, dass für beliebige Punkte und die Abstandsbedingung gilt.



Es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte und mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte und die Abschätzung

gilt.

Tipp: Betrachte die Produktmenge und darauf die Abbildung . Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Skizziere zum Gitter in drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.



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