Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 24

Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

${}S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

isomorph zu ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Charakterisiere die Restklassengruppe eines Gitters ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es eine ${}\mathbb {Q}$- lineare Abbildung

$\mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}$

gibt, die einen Gruppenisomorphismus

$\Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}$

induziert.

Aufgabe

Es seien ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ rationale vollständige Gitter. Zeige, dass es ein rationales Gitter ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma$ gibt.

Aufgabe

Alle Springmäuse leben in ${}\mathbb {Z} ^{2}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${}\pm (3,4)$ und den Sprung ${}\pm (5,2)$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

$(14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Aufgabe

Sind alle Vierecke konvex?

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexen Mengen wieder konvex ist.

Aufgabe

Es sei ${}U$ eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ein Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$ genau dann zur konvexen Hülle von ${}U$ gehört, wenn es endlich viele Punkte ${}P_{i}\in U$, ${}i\in I$, und reelle Zahlen ${}r_{i}$, ${}i\in I$, mit ${}r_{i}\in [0,1]$, ${}\sum _{i\in I}r_{i}=1$ und mit

$Q=\sum _{i\in I}r_{i}P_{i}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum, ${}Y\subseteq X$ eine kompakte Teilmenge und ${}P\notin Y$ ein Punkt. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen ${}U,V\subseteq X$ mit ${}Y\subseteq U$ und ${}P\in V$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum und seien ${}Y,Z\subseteq X$ kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen ${}U,V\subseteq X$ mit ${}Y\subseteq U$ und ${}Z\subseteq V$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum und seien ${}Y,Z\subseteq X$ kompakte Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es ein ${}d>0$ derart gibt, dass für beliebige Punkte ${}P\in Y$ und ${}Q\in Z$ die Abstandsbedingung ${}d(P,Q)\geq d$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass es Punkte ${}x\in X$ und ${}y\in Y$ mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte ${}P\in X$ und ${}Q\in Y$ die Abschätzung

${}d(x,y)\leq d(P,Q)\,$

gilt.

Tipp: Betrachte die Produktmenge ${}S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ und darauf die Abbildung ${}(x,y)\mapsto \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}$. Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Aufgabe

Skizziere zum Gitter ${}\mathbb {Z} ^{2}$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompakt und zentralsymmetrisch erfüllen.