Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Die Diskriminante}
Das Hauptziel dieser Vorlesung ist es, die Diskriminante einzuführen und damit zu zeigen, dass Zahlbereiche stets eine $\Z$-Basis besitzen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} Elemente in $L$. Dann wird die \definitionswort {Diskriminante}{} von
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ =} { \det \left( \operatorname{Spur} { \left( b_ib_j \right) }_{i,j} \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
Die Produkte
\mathbed {b_ib_j} {}
{1 \leq i,j \leq n} {}
{} {} {} {,}
sind dabei Elemente in $L$, von denen man jeweils die Spur nimmt, die in $K$ liegt. Man erhält also eine quadratische
\mathl{n \times n}{-}Matrix über $K$. Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, sodass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.
Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und seien
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} und
\mathl{c_1 , \ldots , c_n}{}
$K$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $L$. Der Basiswechsel werde durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{Tb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Dann gilt für die
\definitionsverweis {Diskriminanten}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1 , \ldots , c_n)
}
{ =} { (\det( T))^2 \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{\sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_ic_k
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n t_{ij} b_j \right) } { \left( \sum_{m = 1}^n t_{km} b_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ \defeq }{S(c_ic_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{jm}
}
{ \defeq }{S(b_jb_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
der $K$-Linearität der Spur
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {S(c_ic_k)
}
{ =} {S { \left( \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_jb_m \right) }
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} S(b_jb_m )
}
{ =} { \sum_{j,m} t_{ij}t_{km} b_{jm}
}
}
{}{}{.}
Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ { \left( c_{ik} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{jm} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ { \left( t_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {T^{\rm transp} B T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Behauptung folgt dann aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und
Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Bei einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Charakteristik null ist die Spurabbildung
\maabb {} {L} {K
} {}
nicht die Nullabbildung, siehe
Lemma 8.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) (2).
Daraus ergibt sich auch das folgende Resultat.
\inputfakt{Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Separabel/Nicht null bei Basis/Fakt}{Lemma}{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (b_1 , \ldots , b_n)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden und für die der Betrag der
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathdisp {\betrag { \triangle (b_1 , \ldots , b_n) }} { }
unter all diesen Basen aus ${\mathfrak a}$ minimal sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst sind wegen Korollar 7.11 die Spuren zu Elementen aus $R$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich $f$ als eine $\Z$-Linearkombination
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ k_1b_1 + \cdots + k_nb_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_i
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben lässt, wenn die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $\Q$-Basis von $L$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { q_1b_1 + \cdots + q_nb_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit rationalen Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_i
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei angenommen, dass ein $q_i$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen dürfen. Wir schreiben dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q_1
}
{ = }{k + \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer rationalen Zahl $\delta$
\zusatzklammer {echt} {} {}
zwischen $0$ und $1$. Dann ist auch
\mathdisp {c_1 = f-kb_1 = \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2 , \ldots , b_n} { }
eine $\Q$-Basis von $L$, die in ${\mathfrak a}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 8.2
gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle (c_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ =} {(\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2 , \ldots , b_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\det(T))^2
}
{ = }{\delta ^2
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und da die Diskriminanten nach
Lemma 8.3
nicht $0$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak a}$ eine
\definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{}
$n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes aus ${\mathfrak a}$ eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 7.7
gibt es überhaupt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die eine $\Q$-Basis von $L$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der
\zusatzklammer {ganzzahlige} {} {}
Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach
Satz 8.4,
dass sie ein $\Z$-Erzeugendensystem von ${\mathfrak a}$ bilden. Die
\definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{}
über $\Q$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $R$ eine
\definitionsverweis {freie abelsche Gruppe vom Rang}{}{}
$n$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z b_1 + \cdots + \Z b_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass die Koeffizienten in einer Darstellung eines Elementes eindeutig bestimmt sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
Korollar 8.5,
angewendet auf das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ein solches System von Erzeugern
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} nennt man auch eine \stichwort {Ganzheitsbasis} {} von $R$. Insbesondere gibt es in einem Zahlbereich stets Ganzheitsbasen. Im Ring der Eisensteinzahlen ist $1, \sqrt{-3}$ keine Ganzheitsbasis, $1, { \frac{ -1+ \sqrt{3} }{ 2 } }$ hingegen schon. Es ergibt sich ferner, dass man eine ganzzahlige Multiplikationsmatrix erhält, wenn man als Basis eine Ganzheitsbasis nimmt. Mit dieser kann man insbesondere die Spur und die Norm ausrechnen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
einer
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$ die \definitionswort {Diskriminante}{} von $R$
\zusatzklammer {und die \definitionswort {Diskriminante}{} von $L$} {} {.}
}
Die Diskriminante eines Zahlbereichs \zusatzklammer {oder eines Zahlkörpers} {} {} ist eine wohldefinierte ganze Zahl. Nach Definition ist die Diskriminante so gewählt, dass sie betragsmäßig minimal unter allen Diskriminanten zu $\Z$-Basen aus $R$ ist. Zwei solche Diskriminanten unterscheiden sich um ein Quadrat einer Einheit aus $\Z$, sodass auch das Vorzeichen wohldefiniert ist. Wir bezeichnen sie mit $\triangle_L$.
Die bisherigen Ergebnisse erlauben es, die Faserringe zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Primideal $(p)$ zumindest anzahlmäßig zu verstehen. Es handelt sich um endliche Ringe mit $p^n$ Elementen. Insbesondere gibt es oberhalb von $(p)$ stets Primideale und zwar höchstens $n$ Stück.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(m)
}
{ \cong} { ( \Z/(m) )^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{R/(m)}{} eine Algebra der Dimension $n$ über dem Körper
\mathl{\Z/(p)}{.} Zu jeder Primzahl $p$ gibt es
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak p}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}\cap \Z
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
Korollar 8.6
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{\Z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {als abelsche Gruppen} {} {,}
wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} entsprechen möge. Das von $m$ in $R$ erzeugte Ideal besteht aus allen $\Z$-Linearkombinationen der
\mathl{m a_1 , \ldots , m a_n}{} und somit entspricht das Ideal
\zusatzklammer {unter dieser Identifizierung} {} {}
der von
\mathl{(m,0 , \ldots , 0), (0,m,0 , \ldots , 0) , \ldots , (0 , \ldots , 0,m)}{} erzeugten Untergruppe von $\Z^n$. Die Restklassengruppe
\mathl{R/(m)}{} ist demnach gleich
\mathl{(\Z/(m))^n}{} und besitzt $m^n$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nach
Aufgabe 6.22
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m R \cap \Z
}
{ = }{ m \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Homomorphiesatzes
hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {\Z/(m) } { R/(m)
} {,}
sodass
\mathl{R/(m)}{} eine von $0$ verschiedene
\mathl{\Z/(m)}{-}Algebra ist.
Für eine Primzahl $p$ ist
\mathl{R/(p)}{} ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{} der Dimension $n$. Deshalb gibt es darin
\zusatzklammer {mindestens} {} {}
ein maximales Ideal, und dieses entspricht
nach Aufgabe 3.16
einem maximalen Ideal ${\mathfrak m}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ = }{ (p)R \cap \Z
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak m} \cap \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich $(p)$.
\zwischenueberschrift{Weitere Berechnungsmöglichkeiten}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Es seien
\maabb {\tau_j} {L} { {\mathbb C}
} {}
die $n$ verschiedenen Einbettungen in ${\mathbb C}$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle(b_1 , \ldots , b_n)
}
{ =} { { \left( \det \left( \tau_j(b_k) \right) \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 7.14
ist die Spur eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich der Summe
\mathl{\sum_{j = 1}^n \tau_j(z)}{.} Für ein Produkt
\mathl{wz}{} ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( wz \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n \tau_j(wz)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n \tau_j(w) \tau_j( z)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( b_i b_k \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n \tau_j(b_i) \tau_j( b_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Spur} { \left( b_i b_k \right) } \right) }_{1 \leq i,k \leq n}
}
{ =} { { { \left( \tau_j (b_i) \right) }^{ \text{tr} } } { \left( \tau_j (b_k) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
nach Satz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \triangle(b_1 , \ldots , b_n)
}
{ =} { \det \left( \operatorname{Spur} { \left( b_i b_k \right) } \right)
}
{ =} { { \left( \det \left( \tau_j(b_i) \right) \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Besonders wichtig ist der Fall, wenn die Basis eine Basis eines Ideals oder eine Ganzheitsbasis ist. In dieser Situation fixieren wir die folgende Sprechweise.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\maabbdisp {\tau} {R} { {\mathbb C}^n
} {}
die
\definitionsverweis {komplexe Gesamteinbettung}{}{.}
Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$. Dann nennt man die komplexe
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( \tau_j(b_k) \right) }_{1 \leq j,k \leq n}} { }
die
\definitionswort {komplexe Ganzheitsmatrix}{}
\zusatzklammer {zu dieser Basis} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/C/Potenzbasis/Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Potenzen
\mathl{1,b,b^2 , \ldots , b^{n-1}}{} eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden. Es seien
\maabb {\tau_j} {L} { {\mathbb C}
} {}
die $n$ verschiedenen Einbettungen in ${\mathbb C}$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle(1 ,b, b^2 , \ldots , b^{n-1})
}
{ =} { \prod_{ 1 \leq i < j \leq n} ( \tau_i(b)- \tau_j(b))^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 8.9
ist die Diskriminante das Quadrat der Determinante der komplexen Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & \tau_1(b) & \tau_1(b)^2 & \ldots & \tau_1(b)^{n-1} \\ 1 & \tau_2(b) & \tau_2(b)^2 & \ldots & \tau_2(b)^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & \tau_{n-1}(b) & \tau_{n-1}(b)^2 & \ldots & \tau_{n-1}(b)^{n-1} \\ 1 & \tau_n(b) & \tau_n(b)^2 & \ldots & \tau_n(b)^{n-1} \end{pmatrix}} { . }
Dies ist eine
\definitionsverweis {Vandermonde-Matrix}{}{}
und ihre Determinante ist gleich
\mathdisp {\prod_{i <j} ( \tau_i(b) - \tau_j(b))} { . }