Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	6	3	6	6	3	7	3	2	6	4	3	5	2	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Fakultätsfunktion

   $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$

2. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

3. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
4. Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
5. Die Niveaumenge zu einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   über ${}c\in \mathbb {R}$.

6. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes, einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt ${}x\in L$ zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen

   ${}L$ und ${}M$.
2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die Umkehrabbildung.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$.

1. Sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert. ${}S_{k}$ ist die Menge der reellen Zahlen ${}\geq 0$, deren Dezimalentwicklung nach der ${}k$-ten Nachkommastelle abbricht.
2. ${}T$ ist die Menge aller reellen Zahlen ${}\geq 0$, deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

${}F{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y+e^{x}\\\sin y\end{pmatrix}}\,$

auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'\,.$

1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
2. Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
3. Löse das lineare Anfangswertproblem

   ${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}u(0)\\v(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$

   mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

${}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,$

im Punkt ${}(4,-1)$ in Richtung ${}(-3,2)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$, sei ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine total differenzierbare Funktion und ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Zeige

${}\left(D{\left(g\circ f\right)}\right)_{P}=g'(f(P))\cdot \left(Df\right)_{P}\,$

für ${}P\in G$.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet.

1. Zeige

   ${}\delta (gh)=g\delta (h)+h\delta (g)\,$

   für ${}g,h\in C$.

2. Es sei ${}h\in C$ mit ${}\delta (h)=0$. Zeige, dass ${}h$ auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ konstant ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&5&-4\\0&-4&2\end{pmatrix}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$

Zeige, dass ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ genau dann ein regulärer Punkt von ${}F$ ist, wenn die Koordinaten von ${}P$ paarweise verschieden (also ${}x\neq y$, ${}x\neq z$ und ${}y\neq z$) sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde eine Lösung ${}v\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung

${}v(t)=1+\int _{0}^{t}v(s)ds\,.$