Kurs:Analysis/Teil II/16/Klausur/kontrolle

Aus Wikiversity


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 3 6 6 3 7 3 2 6 4 3 5 2 62



Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Abschluss für die folgenden Teilmengen von .

  1. Sei fixiert. ist die Menge der reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung nach der -ten Nachkommastelle abbricht.
  2. ist die Menge aller reellen Zahlen , deren Dezimalentwicklung irgendwo abbricht.


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Integralabschätzung für stetige Kurven.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg


Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

  1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix und die zugehörigen Basislösungen.
  2. Beschreibe ein Fundamentalsystem aus Basislösungen mit den Hyperbelfunktionen.
  3. Löse das lineare Anfangswertproblem

    mit den beiden Fundamentalsystemen aus (1) und (2).


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung .


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum , sei eine total differenzierbare Funktion und eine differenzierbare Funktion. Zeige

für .


Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von nach . Wir betrachten die Abbildung

mit

Man erhält also aus der Funktion die neue Funktion , indem man an einem Punkt die Richtungsableitung der Funktion in Richtung berechnet.

  1. Zeige

    für .

  2. Es sei mit . Zeige, dass auf allen (Bildern der) Lösungen zur Differentialgleichung konstant ist.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine Lösung für die Integralgleichung