Kurs:Analysis/Teil II/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	5	3	5	2	4	7	5	6	5	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Eigenschaft zweier metrischer Räume ${}L$ und ${}M$, zueinander homöomorph zu sein.
2. Eine stark kontrahierende Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$.

3. Die Kurvenlänge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Die totale Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

5. Eine Linearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, wobei ${}K$ ein Körper ist.
6. Eine punktweise konvergente Abbildungsfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow M$

   auf einer Menge ${}T$ in einen metrischen Raum ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
3. Der Satz von Schwarz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

	Grad	Bogenmaß	Prozent
	${}\,$	${}\,$	${}100\,\%$
	${}270^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}{\frac {\pi }{10}}$	${}\,$
	${}60^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}\pi$	${}\,$
	${}\,$	${}\,$	${}1\,\%$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}t^{3}\cos t\\e^{-t^{2}}\\\sin \left({\frac {t}{t^{2}+1}}\right)\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,$

durch

${}v(t)={\begin{pmatrix}a+tb+{\frac {1}{2}}t^{2}c\\b+tc\\c\end{pmatrix}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}x-xy\\t^{3}+x^{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x(0)=1{\text{ und }}y(0)=0$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}4$.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise die Taylor-Formel für eine beliebig oft differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein reelles Polynom ${}f$ in zwei Variablen vom Grad ${}\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?

1. Es ist ${}f((0,0))=0$.
2. Es ist ${}f((1,1))=2$.
3. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$

5. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((1,1))=2\,.$

6. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((1,1))=3\,.$

Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x^{2}-y^{3},\,xz+\sin y,\,yz^{2}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Berechne die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
3. Begründe, dass ${}\varphi$ in einer offenen Umgebung des Punktes ${}P=\left(1,\,0,\,1\right)$ einen Diffeomorphismus beschreibt.
4. Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${}P\in G$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ${}v\in T_{P}Z$ ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser ${}Z$ zu ${}\varphi$ durch ${}P$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow Z$

(für ein geeignetes ${}\epsilon >0$) mit ${}\gamma (0)=P$ und mit

${}\gamma '(t)=v\,$

gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei ${}Z\subseteq S$ die Menge aller Punkte, bezüglich der ${}S$ sternförmig ist. Zeige, dass ${}Z$ abgeschlossen ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 2 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?