Kurs:Analysis/Teil II/19/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	8	8	8	1	5	3	5	4	4	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Mit ${}f^{\circ n}$ bezeichnen wir die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass wenn ${}f$ Lipschitz-stetig ist, dass dann auch ${}f^{\circ n}$ Lipschitz-stetig ist.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Lipschitz-stetige Abbildung ${}f$, die keine starke Kontraktion, wo aber jedes ${}f^{\circ n}$ für ${}n\geq 2$ eine starke Kontraktion ist.

c) Es sei ${}f$ Lipschitz-stetig und es sei ${}f^{\circ k}$ eine starke Kontraktion für ein gewisses ${}k$. Zeige, dass es ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass ${}f^{\circ n}$ für jedes ${}n\geq n_{0}$ eine starke Kontraktion ist.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ${}1$) und darin eingeschriebene regelmäßige ${}n$-Ecke.

1. 

   In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

2. 

   In den Kreis sei ein regelmäßiges ${}6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen ${}n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere den Graphen der Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\\z(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige

${}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}f={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}f\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wie betrachten die komplexe Invertierung

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1}.$

1. Bestimme die Ableitung ${}f'(z)$ von ${}f$.
2. Beschreibe die Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   mit den reellen Koordinaten ${}x,y$ (bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }$).

3. Bestimme das totale Differential zu ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt.
4. Beschreibe die Multiplikation mit ${}f'(z)$ auf ${}{\mathbb {C} }$ durch eine reelle Matrix bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}0&b\\b&c\end{pmatrix}}$

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von ${}b,c$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

$\varphi _{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.