Kurs:Analysis/Teil II/20/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 6 | 4 | 4 | 8 | 0 | 0 | 0 | 9 | 8 | 4 | 8 | 5 | 0 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das
uneigentliche Integral
zu einer stetigen Funktion
- Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum über mit einem Skalarprodukt .
- Ein
Zentralfeld
auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .
- Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
- Ein lokales Minimum einer Funktion
auf einem metrischen Raum in einem Punkt .
- Eine
punktweise konvergente
Abbildungsfolge
auf einer Menge in einen metrischen Raum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Das
Lösungsverfahren
für ein durch ein Zentralfeld
- Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Es sei ein metrischer Raum, zu einer Menge bezeichnet den Abschluss von . Beweise oder widerlege die folgenden Eigenschaften
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde ein Polynom der Form
das die Bedingungen
erfüllt.
Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)
Wir betrachten die reelle Ebene ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius , also
Eine Person befindet sich im Punkt und möchte zum Punkt , wobei sie sich nur in bewegen darf.
a) Zeige, dass die Person von nach entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ist.
b) Zeige, dass die Person von nach entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (9 Punkte)
Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind.
Aufgabe * (8 (1+3+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
auf .
- Bestimme die ersten partiellen Ableitungen von .
- Zeige, dass genau einen kritischen Punkt besitzt (Tipp: kann sein?) und bestimme diesen.
- Bestimme die Hesse-Matrix von .
- Bestimme die Extrema von .
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
Aufgabe * (8 (1+2+1+3+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Bestimme die Hesse-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu im Punkt .
- Bestimme den Typ der Hesse-Form zu im Punkt mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.
Aufgabe * (5 Punkte)
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung und .
Aufgabe (0 Punkte)