Kurs:Analysis/Teil II/25/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 2 | 5 | 2 | 4 | 0 | 4 | 4 | 0 | 4 | 7 | 5 | 12 | 6 | 61 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum.
- Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
- Die
Stetigkeit
einer Abbildung
zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .
- Eine
Lösung
zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei
ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).
- Ein lokales Minimum einer Funktion
auf einem metrischen Raum in einem Punkt .
- Der Typ einer symmetrischen Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Fundamentalsatz der Algebra.
- Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
- Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (5 Punkte)
Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?
Aufgabe * (4 Punkte)
Berechne die Länge des Graphen der Funktion
zwischen und .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass es kein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Es ist .
- Es ist
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)
Wir betrachten die Funktion auf dem .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Zeige, dass keine lokalen Extrema besitzt.
- Es sei
der Einheitskreis und die Einschränkung von auf . Bestimme die lokalen Extrema von .
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter .
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
Aufgabe * (12 Punkte)
Beweise den Satz über die Umkehrabbildung.
Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)
- Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei ein Gradientenfeld auf . Zeige, dass das Potential zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
- Es seien
offene
sternförmige Mengen
mit der Eigenschaft, dass
zusammenhängend
ist. Es sei
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Zeige, dass ein Gradientenfeld ist.