Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	9	8	2	4	3	1	4	3	8	9	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (9 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${}i$-te Komponente nur von der ${}i$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ nur von ${}\gamma (a)$ und ${}\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$

(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei ${}t>0$)

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

zu dieser Differentialgleichung an.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y^{3}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}-y^{2},$

kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x,y)=\sin x^{2}y-e^{x+y}\,,$

${}P=(1,2)$, ${}v=(2,3)$ und ${}w=(-1,4)$.

a) Berechne die Hesse-Matrix von ${}f$ im Punkt ${}P$.

b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung ${}D_{v}D_{w}f(P)$.

c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung ${}D_{v}D_{w}f(P)$.

Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die injektive Abbildung.