Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
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Punkte | 3 | 3 | 9 | 8 | 2 | 4 | 3 | 1 | 4 | 3 | 8 | 9 | 7 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
- Eine
Lösung
zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei
ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).
- Eine
höhere Richtungsableitung
zu einer Abbildung
wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .
- Die
Hesse-Form
zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
in einem Punkt .
- Den
Tangentialraum
an die Faser einer
stetig differenzierbare Abbildung
zwischen endlichdimensionalen - Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.
- Die
gleichmäßige Konvergenz
einer Abbildungsfolge
wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Charakterisierung von stetigen Abbildungen
zwischen metrischen Räumen und
mit Folgen und mit offenen Mengen. - Der Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
- Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.
Aufgabe * (9 Punkte)
Es sei
eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion
Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei
ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem
zu dieser Differentialgleichung an.
Aufgabe (1 Punkt)
Skizziere die Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.
Aufgabe * (3 Punkte)
Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion
kein lokales Extremum besitzt.
Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)
Es sei
a) Berechne die Hesse-Matrix von im Punkt .
b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung .
c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung .
Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)
Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und
die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.
- Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die injektive Abbildung.