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Kurs:Analysis/Teil II/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 9 8 2 4 3 1 4 3 8 9 7 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius in einem metrischen Raum .
  2. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei

    ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).

  3. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

    wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .

  4. Die Hesse-Form zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  5. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen - Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  6. Die gleichmäßige Konvergenz einer Abbildungsfolge

    wobei eine Menge und ein metrischer Raum ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Charakterisierung von stetigen Abbildungen

    zwischen metrischen Räumen und

    mit Folgen und mit offenen Mengen.
  2. Der Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
  3. Der Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.



Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.



Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.



Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.



Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.



Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion



Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.



Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe ohne Differentialrechnung, dass die Funktion

kein lokales Extremum besitzt.



Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei

, und .

a) Berechne die Hesse-Matrix von im Punkt .

b) Bestimme mit a) die zweite Richtungsableitung .

c) Bestimme direkt die zweite Richtungsableitung .



Aufgabe * (9 (5+4) Punkte)

Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.



Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die injektive Abbildung.