Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 18/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Tangenten an , die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

ein Polynom vom Grad und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .




Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe Aufgabe 18.18 ändern

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion


wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

differenzierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 18.21 ändern

Sei offen und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit gibt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht.

  1. Ist wachsend?
  2. Ist surjektiv?
  3. Ist injektiv?
  4. Besitzt einen Fixpunkt?




Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.18 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)