Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Nullpunkt.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Polynom

in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Entwicklungspunkt bis zur Ordnung

(man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion
im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Es sei ein Polynom und

Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form

mit einem weiteren Polynom ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass für jedes die -te Ableitung die Eigenschaft

besitzt.


Aufgabe

Bestimme den Wendepunkt der Funktion




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Seien und . Zeige


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zum Grad der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom

in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei , , vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

gibt mit



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