Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},$

im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+3z^{2}-7z-4\,.$

in der neuen Variablen ${}z-2$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}2$.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion ${}f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ im Punkt ${}a=3$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}3$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ zur Funktion

$f(x)=x\cdot \sin x$

im Entwicklungspunkt ${}a={\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

${}f(x)=e^{x^{2}}-x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=1$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}1$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ im Punkt ${}a=2$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}2$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Aufgabe *

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

$f(x)=\sin x$

im Punkt ${}\pi /2$ bis zur Ordnung ${}4$ (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ zum Entwicklungspunkt ${}\pi /2$ an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in \mathbb {C}$.

Aufgabe

Es sei ${}p\in \mathbb {R} [Y]$ ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe

Bestimme den Wendepunkt der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}j\in \mathbb {Z}$. Zeige

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }jk}{n}}={\begin{cases}n,{\text{ falls }}j{\text{ ein Vielfaches von }}n{\text{ ist}},\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zum Grad ${}4$ der Funktion

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+(4-{\mathrm {i} })z^{2}-2{\mathrm {i} }z+5\,.$

in der neuen Variablen ${}z-1-{\mathrm {i} }$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}1+{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ${}\epsilon$, ${}0<\epsilon \leq {\frac {1}{3}}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit

$f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq 0\,,\\1{\text{ für }}x\geq \epsilon {\text{ und }}x\leq 1-\epsilon \,,\\0{\text{ für }}x\geq 1\,.\end{cases}}$