Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $4$ der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼(\sin z)(\cos z),$

im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

$f(x)=x^4-2x^3+2x^2-3x+5$

im Entwicklungspunkt  $a=3$. 

Aufgabe

Bestimme das Polynom

$f(z)=z^3+3z^2-7z-4$

in der neuen Variablen $z-2$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion  $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$  im Entwicklungspunkt  $a=3$. 

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ zur Funktion

$f(x)=x\cdot \sin x$

im Entwicklungspunkt  $a=\frac{\pi }{2}$. 

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion

$f(x)=e^{x^2}-x$

im Entwicklungspunkt  $a=1$. 

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion  $f(x)=\frac{1}{x}$  im Entwicklungspunkt  $a=2$  der Ordnung $4$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ zur Funktion

$f(x)=\sin x$

im Entwicklungspunkt $\pi /2$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion

$f:ℂ\setminus \{0\}⟶ℂ,z⟼f(z)=\frac{z^2-z+3}{z},$

im Entwicklungspunkt $\mathrm{i}$.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt  $a\in ℂ$. 

Aufgabe

Es sei  $p\in ℝ[Y]$  ein Polynom und

$g:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼g(x)=p\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x}}.$

Zeige, dass die Ableitung $g^{\prime }(x)$ ebenfalls von der Form

$g^{\prime }(x)=q\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x}}$

mit einem weiteren Polynom $q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=e^{-\frac{1}{x}}.$

Zeige, dass für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ die Eigenschaft

${\lim }_{x\in {ℝ}_{+},x\to 0}{f}^{(n)}(x)=0$

besitzt.

Aufgabe

Bestimme den Wendepunkt der Funktion

${ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼e^{-\frac{1}{x}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und  $j\in \mathbb{Z}$.  Zeige

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi \mathrm{i}jk}{n}}=\{\begin{array}{c}n,\text{ falls }j\text{ ein Vielfaches von }n\text{ ist},\\ 0\text{ sonst}.\end{array}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin (\cos z)+z^3\exp \left(z^2\right),$

im Entwicklungspunkt $0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom

$f(z)=z^3+(4-\mathrm{i})z^2-2\mathrm{i}z+5.$

in der neuen Variablen $z-1-\mathrm{i}$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+\mathrm{i}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f:[0,2\pi ]⟶ℝ,x⟼f(x)=(\sin x)(\cos x),$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (6 Punkte)

Sei $ϵ$, $0<ϵ\le \frac{1}{3}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

gibt mit

$f(x)=\{\begin{array}{c}0\text{ für }x\le 0,\\ 1\text{ für }x\ge ϵ\text{ und }x\le 1-ϵ,\\ 0\text{ für }x\ge 1.\end{array}$