Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen und zeitunabhängig ist, d.h. dass konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.


Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.


Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

aus, die nur von einer Variablen abhängt.


Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.12 voraus.

Aufgabe

Es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung


Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit .

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.

Aufgabe

Zeige, dass () eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

auf ist.


Aufgabe *

a) Es sei

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. für alle . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

injektiv ist.

b) Sei nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.


Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

erfüllt (dabei ist als der Wert der Funktion an der Stelle zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen mit ; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).


Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

Löse damit das Anfangswertproblem


Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

einen -dimensionalen reellen Vektorraum bilden.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

auf mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem unendlich oft differenzierbare Funktionen

derart gibt, dass die -te Ableitung mit übereinstimmt, die Ableitungen , aber nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.



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