Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2{\text{ mit }}y(5)=3.$

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-3t+4{\text{ mit }}y(-1)=-5.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.12 voraus.

Aufgabe

Es sei

${}D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$

Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=cy^{\frac {2}{3}}\,$

mit ${}c\in \mathbb {R} _{+}$.

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.

Aufgabe

Zeige, dass ${}y(x)=x^{n}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=ny^{\frac {n-1}{n}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ ist.

Aufgabe *

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion ${}y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

${}y'(t)=y(t-1)\,$

erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion ${}y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen ${}y$ mit ${}t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=5{\text{ und }}y^{\prime }(0)=6.$

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

${}y^{(n)}=0\,$

einen ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'(t)={\frac {1}{\sinh t}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ mit der Anfangsbedingung ${}y(1)=7$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

${}y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

derart gibt, dass die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ mit ${}f$ übereinstimmt, die Ableitungen ${}f^{(i)}$, ${}i<n$, aber nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.