Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 72/latex

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\setcounter{section}{72}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cavalieri_004.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cavalieri 004.jpg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}





\inputfaktbeweis
{Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und \maabbdisp {v} {M} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi_v} {M \times \R^n} { M \times \R^n } {(x,y)} { (x,y+v(x)) } {,} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} und \definitionsverweis {maßtreu}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Abbildung $\varphi_v$ ist \definitionsverweis {messbar}{}{} nach Lemma 64.11 und nach Lemma 68.3. Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist $\varphi_{-v}$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {messbar}{}{.} Wir müssen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\mu \otimes \lambda^n )(T) }
{ =} {(\mu \otimes \lambda^n )( \varphi_v^{-1}(T)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zeigen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \varphi^{-1}_v(T))(x) }
{ =} { { \left\{ y \in \R^n \mid (x,y) \in \varphi_v^{-1}(T) \right\} } }
{ =} { { \left\{ y \in \R^n \mid (x,y+v(x)) \in T \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund der \definitionsverweis {Translationsinvarianz}{}{} des \definitionsverweis {Borel-Lebesgue-Maßes}{}{} besitzt diese Menge das gleiche Maß wie
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left\{ y +v(x) \in \R^n \mid (x,y+v(x)) \in T \right\} } }
{ =} { { \left\{ z \in \R^n \mid (x,z) \in T \right\} } }
{ =} { T(x) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Aufgrund der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (\mu \otimes \lambda^n)(T) }
{ =} { \int_{ M } \lambda^n(T(x)) \, d \mu (x) }
{ =} { \int_{ M } \lambda^n { \left( { \left( \varphi_v^{-1}(T) \right) } (x) \right) } \, d \mu (x) }
{ =} { { \left( \mu \otimes \lambda^n \right) } { \left( \varphi_v^{-1}(T) \right) } }
{ } { }
} {} {}{.}

}







\zwischenueberschrift{Einige Volumina}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R \times \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man
\mathdisp {{ \left\{ (x, y \cos \alpha, y \sin \alpha ) \in \R^3 \mid (x,y) \in T , \, \alpha \in [0, 2 \pi] \right\} }} { }
die zugehörige \definitionswort {Rotationsmenge}{} \zusatzklammer {um die $x$-Achse} {} {.}

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_apl_rot_objem3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Integral apl rot objem3.svg } {} {Pajs} {cs Wikipedia} {PD} {}





\inputfaktbeweis
{Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R_{\geq 0} } {t} {f(t) } {,} eine \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Rotationskörper}{}{} zum \definitionsverweis {Subgraphen}{}{} von $f$ um die $x$-Achse.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $K$ das Volumen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^3(K) }
{ =} { \pi \cdot \int_{ [a,b] } (f(t))^2 \, d \lambda(t) }
{ =} { \pi \cdot \int_{ a }^{ b } (f(t))^2 \, d t }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei für die zweite Formel $f$ als \definitionsverweis {stetig}{}{} vorausgesetzt sei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda \otimes \lambda^2)(K) }
{ =} { \int_{ [a,b] } \lambda^2 (K(t)) \, d \lambda(t) }
{ =} { \pi \int_{ [a,b] } (f(t))^2 \, d \lambda(t) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für \definitionsverweis {stetiges}{}{} $f$ ist dies nach Satz 70.5 gleich
\mathdisp {\pi \int_{ a }^{ b } (f(t))^2 \, d t} { . }

}


Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer \zusatzklammer {differenzierbaren} {} {} Funktion werden wir in Satz 85.5 berechnen.




\inputbeispiel{}
{

Wir wollen das Volumen einer $n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius $r$ berechnen, also von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_n(r) }
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid \Vert {x} \Vert \leq r \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen Satz 67.2 gilt dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda^n (B_n(r)) }
{ = }{ r^n \lambda^n ( B_n(1)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Ihr Volumen bezeichnen wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta_n }
{ = }{ \lambda^n(B_n(1)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zur Berechnung gehen wir induktiv vor \zusatzklammer {es ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \beta_1 }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_n }
{ \subseteq} { \R^{n-1} \times \R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für jedes fixierte
\mathbed {h} {}
{-1 \leq h \leq 1} {}
{} {} {} {,} kann man den Querschnitt als
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ B_n (h) }
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1}) \in \R^{n-1} \mid (x_1 , \ldots , x_{n-1}, h) \in B_n \right\} } }
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1} ) \in \R^{n-1} \mid x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 +h^2 \leq 1 \right\} } }
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_{n-1}) \in \R^{n-1} \mid x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 \leq 1 -h^2 \right\} } }
{ =} { B_{n-1} { \left( 0, \sqrt{ 1-h^2 } \right) } }
} {} {}{} schreiben, d.h. als eine $(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius
\mathl{\sqrt{ 1-h^2 }}{.} Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\beta_{n} }
{ =} { \lambda^{n} (B_{n}(1)) }
{ =} { { \left( \lambda^{n-1} \otimes \lambda^1 \right) } (B_{n}(1)) }
{ =} { \int_{ [-1,1] } \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}( \sqrt{1-h^2}) \right) } \, d \lambda^1 }
{ =} { \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}(1) \right) } \, d \lambda^1 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda^{n-1} { \left( B_{n-1}(1) \right) } \cdot \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d \lambda^1 }
{ =} { \beta_{n-1} \cdot \int_{ [-1,1] } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d \lambda^1 }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dabei können wir das Integral rechts wegen Satz 70.5 und Korollar 24.7 über \definitionsverweis {Stammfunktionen}{}{} ausrechnen. Die Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h }
{ =} { \sin t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -1 }^{ 1 } { \left( \sqrt{1-h^2} \right) }^{n-1} \, d h }
{ =} { \int_{ - { \frac{ \pi }{ 2 } } }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \cos^{ n } t \, d t }
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \sin^{ n } t \, d t }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Beweis zu Korollar 25.4 wurden diese Integrale berechnet; mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ = }{ \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \sin^{ n } t \, d t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { \begin{cases} { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1 }{ n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 } } \cdot { \frac{ \pi }{ 2 } } \text{ bei } n \text{ gerade } \geq 2\, , \\ { \frac{ (n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2 }{ n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 } } \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta_n }
{ = }{ 2 \beta_{n-1} a_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man schließlich mit Hilfe der \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} das Kugelvolumen als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \beta_n }
{ =} { { \frac{ \pi^{n/2} }{ \operatorname{Fak} \, (n/2) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Satz 32.3, siehe Aufgabe *****.


} Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert $\pi$, für das Volumen der Einheitskugel der Wert
\mathl{{ \frac{ 4 }{ 3 } } \pi}{} und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert
\mathl{{ \frac{ \pi^2 }{ 2 } }}{.}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Coneirr3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Coneirr3.svg } {} {Mpfiz} {Commons} {PD} {}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ = }{ \R^n \times 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ \R^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_B }
{ =} { { \left\{ P+t(Q-P) \mid Q \in B , \, t \in [0,1] \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {Kegel}{} zur Basis $B$ mit der Spitze $P$.

}





\inputfaktbeweis
{Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {messbar}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und $K_B$ der zugehörige \definitionsverweis {Kegel}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ = }{ P_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die letzte Koordinate von $P$.}
\faktfolgerung {Dann ist $K_B$ ebenfalls messbar, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda^{n+1} { \left( K_B \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n+1 } } \lambda^{n} (B) \cdot \betrag { h } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt der gesamte Kegel in $\R^n$ und sein $\lambda^{n+1}$-Maß ist $0$ nach Lemma 66.11, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der Durchschnitt von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ K_B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ = }{ t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $t$ zwischen \mathkor {} {0} {und} {h} {,} gegebenen \definitionsverweis {Hyperebene}{}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ K(t) }
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid (x_1 , \ldots , x_n, t) \in K_B \right\} } }
{ =} { { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid (x_1 , \ldots , x_n,t) = P+ { \frac{ (h-t) }{ h } } (Q-P) , \, Q \in B \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Wegen der \definitionsverweis {Translationsinvarianz}{}{} und Korollar 67.3 ist dessen Volumen gleich
\mathl{\betrag { { \frac{ h-t }{ h } } }^n \lambda^n(B)}{.} Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s }
{ = }{ h-t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\lambda^{n+1} (K_B) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } \lambda^n(K(s)) \, d s }
{ =} { \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } \lambda^n(B) \cdot { \left( { \frac{ s }{ \betrag { h } } } \right) }^n \, d s }
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ \betrag { h } ^n } } \cdot \int_{ 0 }^{ \betrag { h } } s^n \, d s }
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ \betrag { h }^n } } \cdot { \frac{ 1 }{ n+1 } } \betrag { h }^{n+1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \lambda^n(B) \cdot { \frac{ 1 }{ n+1 } } \cdot \betrag { h } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius
\mathl{\sqrt{1-h^2}}{.} Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist
\mathl{2 \pi \sqrt{1-h^2}}{.} Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann \zusatzklammer {mit der Substitution
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ h }
{ = }{ \sin s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A }
{ =} { 2 \int_{ 0 }^{ 1 } 2 \pi \sqrt{1-h^2} \, d h }
{ =} { 4 \pi \int_{ 0 }^{ 1 } \sqrt{1-h^2} \, d h }
{ =} { 4 \pi \int_{ 0 }^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } \cos^{ 2 } s \, d s }
{ =} { 4 \pi { \frac{ 1 }{ 2 } } (s + \sin s \cos s) | _{ 0 } ^{ { \frac{ \pi }{ 2 } } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 2 \pi { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ =} { \pi^2 }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Der wahre Wert ist aber mit $4 \pi$ deutlich größer.


}






\zwischenueberschrift{Der Satz von Fubini}

Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.} Der Satz von Fubini bringt das Integral
\mathl{\int_{ M \times N } f \, d (\mu \otimes \nu)}{} mit dem Integral über $M$ der Funktion \maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R } } {x} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) } {,} in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum
\mathl{M \times N \times \overline{ \R }}{,} und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details \zusatzklammer {Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen} {} {} doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {Maßraumes}{}{} $M$ heißt
\definitionswortenp{Nullmenge}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(Z) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in $\R^n$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen $Z$, für die es eine messbare Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{Z' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(Z') }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine Eigenschaft $E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft
\definitionswortenp{fast überall}{} gilt, wenn die Ausnahmemenge
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid E(x) \text{ gilt nicht} \right\} }} { }
eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von \stichwort {fast überall definierten Funktionen} {.} Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche \anfuehrung{kleinen}{} Undefiniertheitsstellen ignorieren.





\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Nichtnegative Funktion/Fubini/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R }_{\geq 0} } {} eine nichtnegative \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist die Funktion \maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }_{\geq 0} } {y} { f(x,y) } {,} und für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Funktion \maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0} } {x} { f(x,y) } {,} \definitionsverweis {messbar}{}{.} }{Die Funktion \maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R }_{\geq 0} } {y} { \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x) } {,} und die Funktion \maabbeledisp {} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0} } {x} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) } {,} sind \definitionsverweis {messbar}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu) }
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) }
{ =} { \int_{ N } { \left( \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen \maabbeledisp {} { M } { M \times N } { x } { (x,y) } {,} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus Lemma 71.4 angewendet auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f) }
{ \subseteq} { M \times ( N \times \overline{ \R }) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da
\mathl{(S(f))(x)}{} der Subgraph von
\mathl{f(x,-)}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_N f(x,-) d \nu }
{ = }{ \nu \otimes \lambda^1 (S(f)(x) ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Nach Satz 71.5, angewendet auf das Produkt
\mathl{M \times (N \times \overline{ \R } )}{,} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ M \times N } f \, d (\mu \otimes \nu) }
{ =} { { \left( \mu \otimes \nu \otimes \lambda^1 \right) } ( S(f)) }
{ =} { \int_{ M } { \left( \nu \otimes \lambda^1 \right) } { \left( (S(f))(x) \right) } \, d \mu }
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu \right) \, d \mu }
{ } { }
} {}{}{.} Da man die Rollen von \mathkor {} {M} {und} {N} {} vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Funktion/Integrationskriterium/Tonelli/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {messbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ genau dann \definitionsverweis {integrierbar}{}{,} wenn
\mathdisp {\int_{ M } { \left( \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) \text{ oder } \int_{ N } { \left( \int_{ M } \betrag { f(x,y) } \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y)} { }
endlich ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Integrierbarkeit von $f$ ist nach Lemma 69.5 äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von
\mathl{\int_{ M \times N } \betrag { f } \, d (\mu \otimes \nu)}{} bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Lemma 72.8.

}


Wir kommen nun zum
\stichwort{Satz von Fubini}{.}




\inputfaktbeweis
{Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und sei \maabbdisp {f} {M \times N} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die beiden Funktionen \maabbeledisp {} {M} {\overline{ \R } } {x} { \int_{ N } f(x,y) \, d \nu (y) } {,} und \maabbeledisp {} {N} { \overline{ \R } } {y} { \int_{ M } f(x,y) \, d \mu (x) } {,} \definitionsverweis {fast überall}{}{} reellwertig und fast überall \definitionsverweis {integrierbar}{}{,} und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu) }
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) }
{ =} { \int_{ N } { \left( \int_{ M } f(x,y) \, d \mu(x) \right) } \, d \nu(y) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Nach Voraussetzung und nach Lemma 72.9 ist die Funktion
\mathl{x \mapsto \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y)}{} \definitionsverweis {integrierbar}{}{.} Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral
\mathl{\int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y)}{} fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ N } \betrag { f(x,y) } \, d \nu(y) }
{ < }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher sind nach Lemma 69.5 für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Integrale
\mathl{\int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y)}{} definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile \mathkor {} {f_+(x,y)} {und} {f_-(x,y)} {.}}
{}

\teilbeweis {}{}{}
{Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da
\mathl{Z \times N}{} eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man $M$ durch
\mathl{M \setminus Z}{} ersetzen. Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \int_{ M\times N } f \, d (\mu \otimes \nu) }
{ =} { \int_{ M\times N } (f_+ -f_-) \, d (\mu \otimes \nu) }
{ =} { \int_{ M\times N } f_+ \, d (\mu \otimes \nu) - \int_{ M\times N } f_- \, d (\mu \otimes \nu) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wenden auf die beiden Summanden Lemma 72.8 an, so dass dies gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ }
{ =} { \int_{ M } { \left( \int_{ N } f_+(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) - \int_{ M } { \left( \int_{ N } f_-(x,y) \, d \nu(y) \right) } \, d \mu(x) }
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } ( f_+(x,y) -f_-(x,y) ) \, d \nu(y) \right) \, d \mu(x) }
{ =} { \int_{ M } \left( \int_{ N } f(x,y) \, d \nu(y) \right) \, d \mu(x) }
{ } { }
} {} {}{} ist.}
{}

}