Kurs:Analysis 3/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	4	4	4	5	7	5	7	3	2	6	7	10	64

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Limes superior zu einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
4. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
5. Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven

   $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

   (dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).

6. Ein regulärer Punkt ${}Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

7. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren ${}k$- Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
3. Die Transformationsformel für Integrale zu einem ${}C^{1}$-Diffeomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H,$

   wobei ${}G$ und ${}H$

   offene Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

${}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

${}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,$

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung und ${}y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}G$ die Menge der Häufungspunkte von ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

a) Zeige ${}f(H)\subseteq G$.

b) Zeige

${}f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe für jeden Tangentialvektor ${}v\in T_{P}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ in einem Punkt ${}P\in S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

$\gamma \colon I\longrightarrow S^{2}$

mit ${}\gamma (0)=P$ an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ mit ${}\operatorname {dim} _{}^{}{\left(M\right)},\,\operatorname {dim} _{}^{}{\left(N\right)}\geq 1$ und differenzierbare Abbildungen ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ und ${}\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und ${}\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${}d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.