Kurs:Analysis 3/20/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine -Algebra auf einer Menge .
  2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem .
  3. Der Limes superior zu einer reellen Folge .
  4. Der Kegel zu einer Basismenge und einem Punkt .
  5. Zwei in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit tangential äquivalente differenzierbare Kurven

    (dabei sei ein offenes reelles Intervall und ).

  6. Ein regulärer Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  7. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  8. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren -Differentialform auf einer offenen Menge .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge zu -endlichen Maßräumen und .
  3. Die Transformationsformel für Integrale zu einem -Diffeomorphismus

    wobei und

    offene Teilmengen des sind.
  4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.

a) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

für definierte Abbildung ein Maß?


Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei eine beschränkte reelle Folge,

eine stetige Abbildung und die Bildfolge. Es sei die Menge der Häufungspunkte von und die Menge der Häufungspunkte von .

a) Zeige .

b) Zeige

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.


Aufgabe * (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite und die Länge , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite und die Länge , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung . Der Tiefgang des Bootes soll maximal betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe für jeden Tangentialvektor mit in einem Punkt auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

mit an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten und mit und differenzierbare Abbildungen und derart, dass und gilt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung

gibt.


Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.



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