Kurs:Analysis 3/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Punkte 3 3 9 9 8 6 2 11 5 5 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Produkt-Präring auf der Präringe .
  2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem .
  3. Der Kegel zu einer Basismenge und einem Punkt .
  4. Ein regulärer Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  5. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  6. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren -Differentialform auf einer offenen Menge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung des Produkt-Präringes.
  2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
  3. Der Satz über die Partition der Eins.


Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen und cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?


Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

der obere Einheitshalbkreis und

die Projektion auf die -Achse. Zu seien Punkte auf gleichverteilt in dem Sinne, dass und dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für einschließlich der Bildpunkte unter .

b) Es sei das Zählmaß auf , bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert erhält und es sei

das zugehörige Bildmaß auf . Man gebe eine Formel für

() mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme


Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ist, das für den Einheitswürfel den Wert besitzt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei der Zylinder um die -Achse und der Zylinder um die -Achse, beide zum Radius . Bestimme das Volumen des Durchschnitts .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ist.


Aufgabe * (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

der reellen nilpotenten -Matrizen sowie die Menge

a) Ist zusammenhängend?

b) Zeige, dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist.

c) Bestimme die Dimension von .

d) Ist zusammenhängend?

e) Überdecke mit expliziten topologischen Karten.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die -Differentialform

auf der -Sphäre , wobei die Koordinaten des umgebenden mit und bezeichnet seien. Bestimme unter der stetig differenzierbaren Abbildung


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf . Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige