Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Die Weingartenabbildung}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{.}
Zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert man eine lineare Abbildung
\maabbdisp {L_P} {T_PY} {T_PY
} {}
auf dem Tangentialraum zu $Y$. Es sei $N$ ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf $Y$, das auf einer offenen Umgebung von $Y$ definiert sei. Die wesentliche Idee ist, einen Tangentialvektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine differenzierbare Kurve
\maabbdisp {\gamma} {I } { Y
} {}
zu parametrisieren, dabei ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma'(0)
}
{ =} { v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Einheitsnormalenfeld definiert dann die Abbildung
\maabbdisp {N \circ \gamma} {I} { \R^n
} {}
längs $I$. Die infinitesimale Änderung des Einheitsnormalenfeldes längs $\gamma$ wird durch den Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ N(\gamma(t))-N(P) }{ t } }} { }
gemessen, falls dieser existiert. Nach
Lemma 43.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist dieser Limes gleich der Richtungsableitung ${ \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) }$ und wiederum gleich
\mathl{{ \left( DN \right) }_{P} { \left( v \right) }}{,} dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
ausgewertet am Vektor $v$. Es wird sich herausstellen, dass diese Zuordnung
\maabbeledisp {} { T_PY} { \R^n
} {v } {{ \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) }
} {,}
in $T_PY$ landet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei $N$ ein
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man
\maabbeledisp {L_P} {T_P Y} { T_PY
} {v} {- { \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) }
} {,}
die
\definitionswort {Weingartenabbildung}{}
in $T_PY$.
}
Man beachte, dass die Weingartenabbildung vom Einheitsnormalenfeld abhängt, auch wenn dies nicht immer explizit gesagt wird. Wenn $Y$ als Faser zu $h$ gegeben ist, so nimmt man in der Regel das zugehörige normierte Gradientenfeld zu $h$.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Weingartenabbildung/Tangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ ein linearer Endomorphismus des
\definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
$T_pY$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(P)
}
{ = }{ { \frac{
\operatorname{Grad} \, h ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert ist. Daher ist gemäß
Proposition 46.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( DN \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
linear in der Richtung $v$. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle N(P) , N(P) \right\rangle
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist unter Verwendung von
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { { \left( D_{v} \left\langle N , N \right\rangle \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { 2 \left\langle N(P) , { \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher steht
\mathl{{ \left( D_{v} N \right) } { \left( P \right) }}{} senkrecht auf $N(P)$ und gehört bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Tangentialraum $T_PY$.
Die Weingartenabbildung $L_P$ ist also die negierte Einschränkung des totalen Differentials des Einheitsnormalenfeldes auf den Tangentialraum $T_PY$ in den Tangentialraum $T_PY$. Wenn man das totale Differential über die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von $-N$ ausrechnet, so muss man deren Wirkungsweise auf einer Basis des Tangentialraumes bestimmen, um eine Matrixdarstellung der Weingartenabbildung zu erhalten.
\inputfaktbeweis
{Ebene Kurve/Weingartenabbildung/Krümmung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Faser zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $C$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
in $P$ die Multiplikation mit der
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
$\kappa(P)$ von $C$ in $P$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist eine Umformulierung von Lemma 3.11.
In der vorstehenden Aussage wurde nicht explizit auf die Orientierung Bezug genommen, dies muss man sich dazudenken.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z)
}
{ =} { x^2+y^2+z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir betrachten die Faser $Y$ zu $h$ über $r^2$, also die Kugeloberfläche zum Radius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \left( x_0 , \, y_0 , \, z_0 \right)
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch eine Isometrie kann man diesen Punkt nach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \left( r , \, 0 , \, 0 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
transformieren, was die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
nicht ändert. Eine Basis des Tangentialraumes ist dann
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} {.}
Das nach innen gerichtete Einheitsnormalenfeld $N$ ist
\mathl{- { \frac{ 1 }{ 2r } } \begin{pmatrix} 2x \\2y\\ 2z \end{pmatrix}}{} und daher ist zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\b\\ c \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} N \right) } { \left( Q \right) }
}
{ =} { b { \frac{ \partial N }{ \partial y } } (Q) + c { \frac{ \partial N }{ \partial z } } (Q)
}
{ =} { -b { \frac{ 1 }{ 2r } } \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 0 \end{pmatrix} - c { \frac{ 1 }{ 2r } } \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ r } } \begin{pmatrix} 0 \\b\\ c \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit dem Kehrwert ${ \frac{ 1 }{ r } }$ des Radius.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir knüpfen an
Beispiel 2.5
an. Die Jacobi-Matrix des Einheitsnormalenfeldes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ N( \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} )
}
{ =} { { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } } \begin{pmatrix} x \\y\\ -z \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {{ \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\xz & yz & -x^2-y^2 \end{pmatrix}} { . }
Die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
ist die negierte Einschränkung dieser Abbildung auf den Tangentialraum an die Fläche, wobei
Lemma 4.2
sicherstellt, dass wir wieder im Tangentialraum landen. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
voraus und arbeiten mit der Basis
\mathkor {} {\begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} z \\0\\ x \end{pmatrix}} {}
des Tangentialraumes. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\xz & yz & -x^2-y^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} y { \left( y^2+z^2 \right) } +x^2y \\-xy^2 -x { \left( x^2+z^2 \right) } \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( x^2+y^2+z^2 \right) } \begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
sodass wir unmittelbar den Eigenvektor $\begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix}$ mit dem Eigenwert
\mathl{- { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } }}{} gefunden haben. Ferner ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\xz & yz & -x^2-y^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z \\0\\ x \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} z { \left( y^2+z^2 \right) } -x^2z \\-2xyz\\ xz^2-x { \left( x^2+y^2 \right) } \end{pmatrix}
}
{ =} { 2yz \begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix} + { \left( z^2-x^2-y^2 \right) } \begin{pmatrix} z \\0\\ x \end{pmatrix}
}
{ =} { 2yz \begin{pmatrix} y \\-x\\ 0 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} z \\0\\ x \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit wird die Weingartenabbildung bezüglich dieser Basis durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } } & - 2yz { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 3 }{ 2 } } } \\ 0 & { \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{ - { \frac{ 3 }{ 2 } } } \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Einen zweiten Eigenvektor im Tangentialraum erhält man
\zusatzklammer {in Hinblick auf
Korollar 4.8} {} {}
am einfachsten, wenn man zum ersten Eigenvektor und zum Normalenvektor einen senkrechten Vektor bestimmt. Dies ergibt den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} xz \\yz\\ x^2+y^2 \end{pmatrix}}{,} und in der Tat ist
\zusatzklammer {ohne den skalaren Vorfaktor} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\xz & yz & -x^2-y^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} xz \\yz\\ x^2+y^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} xz { \left( y^2+z^2 \right) } -xy^2z -xz { \left( x^2+y^2 \right) } \\ - x^2yz +yz { \left( x^2+z^2 \right) } -yz { \left( x^2+y^2 \right) } \\ x^2z^2 +y^2z^2 - { \left( x^2+y^2 \right) }^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \left( - x^2-y^2+z^2 \right) } \begin{pmatrix} xz \\yz\\ x^2+y^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { - \begin{pmatrix} xz \\yz\\ x^2+y^2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Eigenwert ist also
\mathl{{ \left( x^2+y^2+z^2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } }}{}
\zusatzklammer {dies ist auch schon aus der beschreibenden Dreiecksmatrix ablesbar} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Weingartenabbildung/Zweite Ableitung/Skalarprodukt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Es sei $N$ ein
\definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\gamma$ eine zweifach differenzierbare Realisierung auf $Y$ eines Tangentenvektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \gamma^{\prime \prime} (0) , N(P) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle L_P(v) , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {I} {Y
} {t} { \gamma(t)
} {,}
zweifach differenzierbar mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma'(0)
}
{ = }{ v
}
{ \in }{ T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \gamma'(t) , N(\gamma(t)) \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist mit
Aufgabe 43.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \left\langle \gamma'(t) , N(\gamma(t)) \right\rangle' (0)
}
{ =} { \left\langle \gamma^{\prime \prime}(0) , N(\gamma(0)) \right\rangle + \left\langle \gamma'(0) , { \left( D_{ \gamma'(0) } N \right) } { \left( \gamma(0) \right) } \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \gamma^{\prime \prime}(0) , N(P) \right\rangle - \left\langle L_P(v) , v \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
In der vorstehenden Aussage ist keine zusätzliche Festlegung über die Orientierung nötig, da auf beiden Seiten das Einheitsnormalenfeld, rechts via die Weingartenabbildung, eingeht. Man beachte ferner, dass $\gamma$ keine konstante Geschwindigkeit besitzen muss, es also viele Realisierungen gibt und die Beschleunigung $\gamma^{\prime \prime} (0)$ nicht festgelegt ist. Der Ausdruck
\mathl{\left\langle \gamma^{\prime \prime} , \right\rangle(0)}{,} der die normale Komponente der Beschleunigung beschreibt, ändert sich aber nicht, da sich $\gamma$ auf der Hyperfläche bewegt.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Faser zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{T_PY
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , L_P(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle L_P(v) , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(P)
}
{ = }{ { \frac{
\operatorname{Grad} \, h ( P ) }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist gemäß
Lemma 45.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle v , L_P(w) \right\rangle
}
{ =} { -\left\langle v , { \left( D_{w} N \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
{ =} { -\left\langle v , { \left( D_{w} { \frac{
\operatorname{Grad} \, h }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h } \Vert } } \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
{ =} { -\left\langle v , { \left( D_{w} { \frac{ 1 }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h } \Vert } } \right) } { \left( P \right) } \cdot
\operatorname{Grad} \, h ( P ) + { \frac{ 1 }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } } \cdot { \left( D_{w}
\operatorname{Grad} \, h \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } } \left\langle v , { \left( D_{w}
\operatorname{Grad} \, h \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
}
{}
{}{,}
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor $v$ steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( D_{w}
\operatorname{Grad} \, h \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { { \left( D_{w} \left( { \frac{ \partial h }{ \partial x_1 } } , \, \ldots , \, { \frac{ \partial h }{ \partial x_n } } \right) \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n w_j { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } \left( { \frac{ \partial h }{ \partial x_1 } } , \, \ldots , \, { \frac{ \partial h }{ \partial x_n } } \right) (P)
}
{ =} { \left( \sum_{j = 1}^n w_j { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial h }{ \partial x_1 } } (P) , \, \ldots , \, \sum_{j = 1}^n w_j { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial h }{ \partial x_n } } (P) \right)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der obige Ausdruck ist somit gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , L_P(w) \right\rangle
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } } \left\langle v , { \left( D_{w}
\operatorname{Grad} \, h \right) } { \left( P \right) } \right\rangle
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \Vert {
\operatorname{Grad} \, h ( P ) } \Vert } } \sum_{i,j = 1}^n v_i w_j { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } } (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Satz 44.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
vertauschen kann.
\inputfaktbeweis
{Hyperfläche/Weingartenabbildung/Selbstadjungiert/Eigenwerte/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Faser zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
mit reellen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
und zueinander orthogonalen Eigenräumen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 4.7 und Satz 41.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).
\inputfaktbeweis
{Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ \R^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ \subseteq }{ V \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
zu einer zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
Funktion
\maabbdisp {f} {V} {\R
} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Weingartenabbildung}{}{}
$L_P$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (x_1 , \ldots , x_{n-1}, f(x_1 , \ldots , x_{n-1}))
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld} {} {}
durch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1+ { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } } \right) }^2 } } } \operatorname{Hess}_{ } \, f}{} gegeben, wobei $\operatorname{Hess}_{ } \, f$ die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
zu $f$ bezeichnet und wenn man Grundvektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R^{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den Tangentialvektoren aus $T_PY$ im Sinne von
Beispiel 1.2
identifiziert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir knüpfen an
Beispiel 1.2
an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ N(x_1 , \ldots , x_{n-1}, f(x_1 , \ldots , x_{n-1}))
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1+ { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } } \right) }^2 } } } \begin{pmatrix} -{ \frac{ \partial f }{ \partial x_{1} } } \\\vdots\\ -{ \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } }\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir betrachten den Weg
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1+tv_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} +tv_{n-1}\\f \begin{pmatrix} x_1+tv_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} +tv_{n-1} \end{pmatrix} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem Graphen zum Grundvektor $v$. Die zweite Ableitung davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma^{\prime \prime} (0)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\\ \sum_{1 \leq i, j \leq n-1} { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } v_iv_j \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 4.6
ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \left\langle L_P( \gamma'(0) ) , \gamma'(0) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \gamma^{\prime \prime} (0) , N(x_1 , \ldots , x_{n-1}, f(x_1 , \ldots , x_{n-1})) \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } } \right) }^2 } } } \left\langle \begin{pmatrix} 0 \\\vdots\\ 0\\ \sum_{ 1 \leq i, j \leq n-1 } { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } v_iv_j \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -{ \frac{ \partial f }{ \partial x_{1} } } \\\vdots\\ -{ \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } }\\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ \sum_{ 1 \leq i, j \leq n-1 } { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } v_i v_j }{ \sqrt{ 1+ { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } } \right) }^2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1+ { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x_{n-1} } } \right) }^2 } } } \left( v_1 , \, \ldots , \, v_{n-1} \right) \operatorname{Hess}_{ } \, f \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1} \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
Das bedeutet, dass die nach
Satz 4.7
symmetrische
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle L_P(-) , - \right\rangle}{} im Tangentialraum $T_PY$ mit der durch die
\zusatzklammer {durch den Vorfaktor} {} {}
skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf $\R^{n-1}$ übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach
Lemma 38.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen $L_P$ und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.