Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 15

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion für .


Aufgabe

Finde einen Restklassenring derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.


Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass auch idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

eine Bijektion ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und natürliche Zahlen mit . Es sei

die Darstellung von zur Basis (also mit ). Es sei ein Teiler von . Dann wird von genau dann geteilt, wenn die Quersumme von geteilt wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Ist diese Zahl durch teilbar?


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl. Zeige, dass

ist für alle .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe (8 Punkte)

  1. Zu einem Körper sei die Menge der Folgen mit Werten in . Zeige, dass ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
  2. Sei von nun an oder , so dass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen einen Unterring von bildet.
  3. Zeige im Fall , dass die Menge der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
  4. Betrachte nun die Menge der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass die Eigenschaft besitzt, dass wenn ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
  5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

    derart, dass eine Ringisomorphie

    entsteht.



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