Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 15

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe

Berechne die Werte der eulerschen Funktion ${}{\varphi (n)}$ für ${}n\leq 20$.

Aufgabe

Finde einen Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.

Aufgabe

Bestimme die nilpotenten Elemente, die idempotenten Elemente und die Einheiten von ${}\mathbb {Z} /(100)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe (3 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}4$, ${}5$ und ${}11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(11)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=3\!\!\mod 4,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 5{\text{ und }}x=10\!\!\mod 11.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass auch ${}1-e$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

$R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)$

eine Bijektion ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}a$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}n\geq 2$. Es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}n^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ zur Basis ${}n$ (also mit ${}0\leq a_{i}<n$). Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}n-1$. Dann wird ${}a$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}k$ geteilt wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass

${}{\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$

für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe (8 Punkte)

1. Zu einem Körper ${}K$ sei ${}R=\operatorname {Folg} _{\rm {}}(K)$ die Menge der Folgen mit Werten in ${}K$. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
2. Es sei von nun an ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen ${}\operatorname {Folg} _{\rm {konv}}(K)$ einen Unterring von ${}R$ bildet.
3. Zeige im Fall ${}K=\mathbb {Q}$, dass die Menge ${}\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )$ der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
4. Betrachte nun die Menge ${}N$ der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass ${}N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn ${}x\cdot y\in N$ ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )\longrightarrow \mathbb {R}$

   derart, dass eine Ringisomorphie

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   entsteht.