Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 16

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Aufwärmaufgaben
Casale Bikini.jpg


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige die folgenden Gleichungen:

und


Aufgabe

Berechne das Produkt

im Polynomring .


Aufgabe

Man begründe, dass Satz 16.3 auch unter der schwächeren Bedingung gilt, dass die Elemente aus dem kommutativen Ring mit dem Element vertauschbar sind, d.h. dass für alle gilt .


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe *

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Zeige, dass bei ein echter Unterring vorliegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in , das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche konstante und lineare Einheiten im Polynomring . Begründe, dass es sich um eine Untergruppe der Einheitengruppe handelt. Welche Struktur hat diese Gruppe?


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Betrachte den Matrizenring und darin die Matrix

Definiere einen Ringhomomorphismus

der auf schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei der Ring der Abbildungen von nach . Definiere einen Ringhomomorphismus



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