Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\left\{1+x\mid x\in I\right\}}$ ein multiplikatives System in ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei  ${}0\neq p\in R$  keine Einheit. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Ideal  ${}(p)\subset R$  ein Primideal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} [X]$ und der Polynomring in zwei Variablen ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ keine Hauptidealbereiche sind.

Aufgabe

Man mache sich anhand des Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {R} [X]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto {\mathrm {i} },$

klar, dass die Anzahl der Primideale in ${}K[X]$ stark vom Grundkörper ${}K$ abhängt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Zeige, dass jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit  ${}u\in R$  und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Es sei  ${}a\in K$  ein Element mit  ${}a^{n}\in R$  für eine natürliche Zahl  ${}n\geq 1$.  Zeige, dass dann schon ${}a$ zu ${}R$ gehört.

Was bedeutet dies für ${}R=\mathbb {Z}$?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des maximalen Ideals.

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn  ${}{\mathfrak {m}}\neq R$  ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ kein weiteres Ideal gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}{\mathfrak {a}}\neq R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  und ein  ${}r\in R$  mit  ${}rg+f=1$  gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass jedes Ideal in einem maximalen Ideal liegt (diese Eigenschaft folgt aus dem Lemma von Zorn).

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

1. ${}R$ hat genau ein maximales Ideal.
2. Die Menge der Nichteinheiten ${}R\setminus R^{\times }$ bildet ein Ideal in ${}R$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.