Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Dann ist ein multiplikatives System in .


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei keine Einheit. Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Ideal ein Primideal ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.


Aufgabe

Man mache sich anhand des Einsetzungshomomorphismus

klar, dass die Anzahl der Primideale in stark vom Grundkörper abhängt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.

Was bedeutet dies für ?

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von verschiedene Primideal ein Primelement enthält.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des maximalen Ideals.


Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


In der folgenden Aufgabe darf man verwenden, dass jedes Ideal in einem maximalen Ideal liegt (diese Eigenschaft folgt aus dem Lemma von Zorn).

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. hat genau ein maximales Ideal
  2. Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.



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