Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 18

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$ die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}P=X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1$. Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(3)[X]/(P)$.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}2,3,4$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und seien ${}F,G\in K[X]$ zwei Polynome. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}K[X]$ genau dann ist, wenn ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}L[X]$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich ${}R$ der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen ${}f,g\in R$ existieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring ${}R/(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}P=X^{6}+3X^{4}-4$. Man beschreibe ferner die Produktzerlegung des Restklassenrings ${}\mathbb {Z} /(5)[X]/(P)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}Q\in \mathbb {R} [X]$ ein quadratisches irreduzibles Polynom. Zeige, dass der Restklassenkörper ${}\mathbb {R} [X]/(Q)$ isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${}K[X]$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Menge ${}M$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in ${}\mathbb {N}$) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ${}M$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in ${}M$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I,J$ Ideale in ${}R$. Es sei weiter

$\varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}I+J=R$ gilt. Wie sieht ${}\ker \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${}R=\mathbb {Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.