Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 22/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{22}






\zwischenueberschrift{Algebraische Körpererweiterung}





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{f \in L}{} ein Element.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{$f$ ist \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über $K$. }{Es gibt ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
\mathbed {P \in K[X]} {mit}
{P(f) =0} {}
{} {} {} {.} }{Es besteht eine \definitionsverweis {lineare Abhängigkeit}{}{} zwischen den Potenzen
\mathdisp {f^0=1,f^1=f,f^2 , f^3, \ldots} { . }
}{Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra
\mathl{K[f]}{} hat endliche $K$-Dimension. }{$f$ liegt in einer \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

$(1) \Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von $0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. $(2) \Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P\neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{\sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f) }
{ =} {\sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i} }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. $(3) \Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente $c_i$ gibt, die nicht alle $0$ sind mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } f^{ i} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist aber die Einsetzung $P(f)$ für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{\sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und dieses ist nicht das Nullpolynom. $(2) \Rightarrow (4)$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein normiertes Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_n }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann kann man umstellen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n }
{ =} { -\sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } f^{ i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} D.h. $f^n$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von $f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen
\mathbed {f^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,} ausdrücken kann. $(4) \Rightarrow (5)$. Das ist trivial. $(5) \Rightarrow (3)$. Wenn $f$ in einer endlichdimensionalen Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von $f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

}






\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{f \in L}{} ein \definitionsverweis {algebraisches}{}{} Element.}
\faktfolgerung {Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f] }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Satz 22.1 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{K[f] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endlichdimensionale $K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass $M$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist. Sei dazu
\mathl{g \in M}{} ein von $0$ verschiedenes Element. Damit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[g] }
{ \subseteq }{ M }
{ = }{ K[f] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass
\mathl{K[g]}{} wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Satz 22.1, das Element $g$ algebraisch über $K$ und es gibt ein Polynom
\mathbed {P\in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(g) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von $X$ heraus und schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{QX^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei der konstante Term von $Q$ von $0$ verschieden sei. Die Ersetzung von $X$ durch $g$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {P(g) }
{ =} {Q(g)g^k }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und sich alles im Körper $L$ abspielt, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(g) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir können durch den konstanten Term von $Q$ dividieren und erhalten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 + c_1 g + \cdots + c_{ d } g^{ d } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Umstellen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g { \left( - c_1 g^0 - \cdots - c_{ d } g^{ d-1 } \right) } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das heißt, dass das Inverse zu $g$ sich als Polynom in $g$ schreiben lässt und daher zu
\mathl{K[g]}{} und erst recht zu
\mathl{K[f]}{} gehört.

}






\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugter Körper und Ring/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{f \in L}{} ein \definitionsverweis {algebraisches}{}{} Element.}
\faktfolgerung {Dann stimmen die von $f$ über $K$ \definitionsverweis {erzeugte Unteralgebra}{}{} und der von $f$ über $K$ \definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{} überein.}
\faktzusatz {Es gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f] }
{ = }{ K(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f] }
{ \subseteq }{ K(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring
\mathl{K[f]}{} aufgrund von Satz 22.1 schon ein Körper.

}







\inputbemerkung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{P \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ = }{K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann kann man zu
\mathbed {z = F(x)} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,} \zusatzklammer {mit \mathlk{F \in K[X], \,x = \overline{X}}{}} {} {} auf folgende Art das Inverse $z^{-1}$ bestimmen. Es sind \mathkor {} {P} {und} {F} {} teilerfremde Polynome in
\mathl{K[X]}{} und daher gibt es nach Satz 16.11 und  Satz 17.12 eine Darstellung der $1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ RF+SP }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist die Restklasse von $R$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{R} }
{ = }{ R(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das Inverse zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overline{F} }
{ = }{z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Algebraischer Abschluss}




\inputdefinition
{}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {{ \left\{ x \in L \mid x \text{ ist algebraisch über } K \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den \definitionswort {algebraischen Abschluss}{} von $K$ in $L$.

}





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei $M$ der \definitionsverweis {algebraische Abschluss}{}{} von $K$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir müssen zeigen, dass $M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien
\mathl{x,y \in M}{.} Wir betrachten die von \mathkor {} {x} {und} {y} {} erzeugte $K$-Unteralgebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{K[x,y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die aus allen $K$-Linearkombinationen der
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i, j \in \N} {}
{} {} {} {,} besteht. Da \mathkor {sowohl} {x} {als auch} {y} {} algebraisch sind, kann man nach Satz 22.1 gewisse Potenzen \mathkor {} {x^{n}} {und} {y^{m}} {} durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen
\mathbed {x^{i}y^{j}} {}
{i <n} {}
{j<m} {} {} {,} ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 22.1 wieder algebraisch. Für das Inverse sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} algebraisch. Dann ist
\mathl{K[z]}{} nach Satz 22.1 ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist
\mathl{z^{-1} \in K[z]}{} selbst algebraisch.

}






\zwischenueberschrift{Algebraische Zahlen}

Die über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.




\inputdefinition
{}
{

Eine komplexe Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn sie \definitionsverweis {algebraisch}{}{} über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}

}

Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${\mathbb A}$ bezeichnet.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann.eps} }
\end{center}
\bildtext {Ferdinand von Lindemann (1852-1939)} }

\bildlizenz { Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg } {unbekannt} {JdH} {Commons} {PD} {http://www.math.uha.fr/Pi/trans.html}







\inputbemerkung
{}
{

Eine komplexe Zahl
\mathl{z \in \mathbb C}{} ist genau dann algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P$ mit rationalen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden \zusatzklammer {das allerdings nicht mehr normiert ist} {} {.} Eine rationale Zahl $q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms
\mathl{X-q}{} ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen \mathkor {} {\sqrt{q}} {und} {q^{1/n}} {} für
\mathl{q \in \mathbb Q}{} algebraisch. Dagegen sind die Zahlen $e$ und $\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von $\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

}






\zwischenueberschrift{Quadratische Körpererweiterungen}

Die aller einfachste Körpererweiterung ist die \stichwort {identische Körpererweiterung} {} $K=K$, die den Grad $1$ besitzt. Die nächst einfachsten sind die vom Grad zwei.




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} zwei heißt eine \definitionswort {quadratische Körpererweiterung}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mathbed {x \in L} {,}
{x \notin K} {und}
{x^2 \in K} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Voraussetzung ist $L$ ein zweidimensionaler \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $K$, und darin ist
\mathl{K=K1}{} ein eindimensionaler \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element
\mathl{y \in L}{} derart, dass \mathkor {} {1} {und} {y} {} eine $K$-Basis von $L$ bilden. Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} {a+by }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben, bzw. \zusatzklammer {da $2$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist} {} {,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {y^2-by-a }
{ =} {{ \left( y- { \frac{ b }{ 2 } } \right) }^2-{ \frac{ b^2 }{ 4 } } - a }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Mit
\mathl{x=y- { \frac{ b }{ 2 } }}{} gilt also
\mathl{x^2={ \frac{ b^2 }{ 4 } } + a \in K}{} und \mathkor {} {1} {und} {x} {} bilden ebenfalls eine $K$-Basis von $L$.

}






\inputfaktbeweis
{Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R }
{ \subseteq} {K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} der reellen Zahlen.}
\faktfolgerung {Dann ist $K$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu \mathkor {} {\R} {oder zu} {{\mathbb C}} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das reelle normierte Polynom
\mathl{P\in \R[X]}{} zerfällt über den komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ nach dem Fundamentalsatz der Algebra in Linearfaktoren, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} {\prod_j (X- \lambda_j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{\lambda_j =a_j +b_j i \in {\mathbb C}}{.} Da $P$ reelle Koeffizienten hat, stimmt es mit seinem komplex-konjugierten überein, d.h. es ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_j (X- \lambda_j) }
{ =} {P }
{ =} { \overline{P} }
{ =} {\prod_j (X- \overline{ \lambda_j} ) }
{ } {}
} {}{}{.} Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es zu jedem $j$ ein $k$ mit
\mathl{\overline{ \lambda_j } = \lambda_k}{.} D.h. entweder, dass
\mathl{\lambda_j \in \R}{} ist, und dann liegt ein reeller Linearfaktor vor, oder aber
\mathl{j \neq k}{} und dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X- \lambda_j)( X- \overline{\lambda_j}) }
{ =} {(X- a_j-b_j i)( X- a_j +b_j i ) }
{ =} {X^2 -2a_jX +a_j^2+ b_j^2 }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} ein reelles Polynom. In der reellen Primfaktorzerlegung von $P$ kommen also nur lineare und quadratische Faktoren vor, und insbesondere haben im Reellen alle irreduziblen Polynome den Grad eins oder zwei.

Sei nun
\mathl{\R \subseteq L}{} eine endliche Körpererweiterung. Sei
\mathl{\R \subset L}{} und
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in \R} {}
{} {} {} {.} Dann ist $x$ algebraisch über $\R$ und nach Satz 21.12 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[x] }
{ \cong }{ \R[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem irreduziblen Polynom $P$ \zusatzklammer {dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} zu $x$} {} {.} Das Polynom $P$ besitzt in ${\mathbb C}$ Nullstellen, so dass es einen $\R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus }{}{} \maabb {} {\R[X]/(P)} {{\mathbb C} } {} gibt. Da beides reell-zweidimensionale Körper sind, muss eine Isomorphie vorliegen. Wir erhalten also eine endliche Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb C} \subseteq L}{.} Da ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist, muss nach Aufgabe *****
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C} }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein.

}







\zwischenueberschrift{Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein}





\inputfaktbeweis
{Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Integritätsbereich/Prim/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} }
{ \in }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{p\in R}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} mit der Eigenschaft, dass $p$ den \definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{} $c_n$ nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^2$ nicht den \definitionsverweis {konstanten Koeffizienten}{}{} $c_0$ teilt.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $F$ keine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit nicht-konstanten Polynomen
\mathl{G,H \in R[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

 Sei angenommen, dass es eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit nicht-kon\-stan\-ten Polynomen
\mathl{G,H \in R[X]}{} gebe, und sei \mathkor {} {G=\sum_{ i = 0 }^{ k } a_{ i } X^{ i}} {und} {H=\sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } X^{ j}} {.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0 }
{ = }{a_0b_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dies ist ein Vielfaches von $p$, aber nicht von $p^2$. Da $p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir $a_0$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von $G$ ein Vielfaches von $p$, da sonst $G$ und damit auch $F$ ein Vielfaches von $p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei $r$ der kleinste Index derart, dass $a_r$ kein Vielfaches von $p$ ist. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \leq }{\operatorname{grad} \, (G) }
{ < }{\operatorname{grad} \, (F) }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{,} da $H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten $c_r$, für den
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_r }
{ =} {a_0b_r +a_1b_{r-1} + \cdots + a_{r-1}b_1 + a_r b_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Hierbei sind $c_r$ und alle Summanden
\mathbed {a_i b_{r-i}} {}
{i=0 , \ldots , r-1} {}
{} {} {} {,} Vielfache von $p$. Daher muss auch der letzte Summand
\mathl{a_r b_0}{} ein Vielfaches von $p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da \mathkor {} {p \nmid a_r} {und} {p \nmid b_0} {.}

}






\inputfaktbeweis
{Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $K=Q(R)$ und sei
\mathl{F =\sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i} \in R[X]}{} ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{p\in R}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} mit der Eigenschaft, dass $p$ den \definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{} $c_n$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^2$ nicht den \definitionsverweis {konstanten Koeffizienten}{}{} $c_0$ teilt.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $K[X]$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 22.12 und Lemma 20.13.

}






\inputfaktbeweis
{Irreduzible Polynome über Q/Beliebiger Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $n\geq 1$.}
\faktfolgerung {Dann sind die Polynome
\mathl{X^n-p}{} irreduzibel in
\mathl{\Q[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 22.13 angewendet mit der Primzahl $p$.

}






\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterungen von Q/Beliebiger Grad/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es gibt \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} von $\Q$ von beliebigem \definitionsverweis {Grad}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 22.13 sind zu einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ die Polynome
\mathl{X^n-p \in \Q[X]}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und nach Satz 17.15 auch \definitionsverweis {prim}{}{.} Aufgrund von Satz 18.5 sind dann die Restklassenringe
\mathl{\Q[X]/(X^n-p)}{} \definitionsverweis {Körper}{}{.} Diese haben den \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ nach Proposition 21.3.

}



<< | Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)