Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben
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Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit für einen Körper der Charakteristik .


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren -Algebraautomorphismus gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.


Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Polynom. Zeige: besitzt genau dann eine Nullstelle in , wenn es einen -Algebrahomomorphismus gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms , wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Betrachte das Polynom

Zeige, dass irreduzibel in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus nachzuweisen.

  1. ,
  2. ,
  3. .



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