Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$ . Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

{}ax^{2}+bx+c=0\,

mit ${}a,b,c\in K$ für einen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$ .

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren ${}K$ - Algebraautomorphismus ${}L\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${}\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige: ${}P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${}L$ , wenn es einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus ${}K[X]/(P)\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige: ${}f$ ist genau dann algebraisch über ${}K$ , wenn ${}K[f]=K(f)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}$ ( ${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$ ).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}L=K(X)$ der rationale Funktionenkörper über ${}K$ . Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ derart gibt, dass ${}L\cong \varphi (L)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um ${}a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}X$ durch ${}X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ , wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Satz 22.13, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

{}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.