Kurs:Elementare Algebra/4/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 | 3 | 4 | 12 | 4 | 4 | 8 | 4 | 2 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe und deren Produkt ist.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe zu jedem einen kommutativen Ring und ein Element , , an, für das und gilt.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe zu einer Menge mit Elementen.
a) Zeige, dass es in Elemente der Ordnung gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe und einem Element darin, dessen Ordnung größer als ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.
b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.
Aufgabe * (12 (3+5+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien kommutative Ringe und sei
der Produktring.
- Es seien
Ideale. Zeige, dass die Produktmenge
ein Ideal in ist.
- Zeige, dass jedes Ideal die Form
mit Idealen besitzt.
- Sei
ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.
- Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in das multiplikative Inverse von
Die Antwort muss in der Form mit in gekürzter Form sein.
Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und sei
a) Zeige, dass es ein Polynom der Form
mit gibt.
b) Es seien nun zusätzlich und verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom aus Teil a) das Minimalpolynom zu ist.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.