Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 3 | 2 | 7 | 4 | 3 | 12 | 4 | 4 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu
äquivalent.
- teilt .
- wird von geteilt.
- wird von geteilt.
- ist ein Vielfaches von .
- ist ein Vielfaches von .
- teilt .
- .
- Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
- Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
- Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus
gibt, in dessen Bild das Element liegt.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)Referenznummer erstellen
(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
die Restetupel und repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.
Aufgabe * (12 (3+1+6+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl.
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung
Man gebe auch eine - Basis von an.
b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form
mit besitzt.
d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.