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Kurs:Elementare Algebra/5/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 2 1 4 3 3 2 7 4 3 12 4 4 62








Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.



Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.



Es seien Elemente in einem kommutativen Ring . Welche der folgenden Formulierungen sind zu

äquivalent.

  1. teilt .
  2. wird von geteilt.
  3. wird von geteilt.
  4. ist ein Vielfaches von .
  5. ist ein Vielfaches von .
  6. teilt .
  7. .
  8. Jedes Vielfache von ist auch ein Vielfaches von .
  9. Jeder Teiler von ist auch ein Teiler von .
  10. Ein Maikäfer ist ein Schmetterling.



Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.



Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.



Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.



(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen



Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.



Es sei eine Primzahl. Finde die Partialbruchzerlegung von

in .



Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von die Potenz einer Primzahl ist.



Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.



Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine - Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung



Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.



Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.