Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 20/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Aufgabe Aufgabe 20.3 ändern

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren in und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.


Aufgabe Aufgabe 20.4 ändern

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

  1. Sei , , eine Familie von Untervektorräumen von . Dann ist auch der Durchschnitt

    ein Untervektorraum.

  2. Zu einer Familie , , von Elementen in ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
  3. Die Familie , , ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn

    ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die drei Vektoren

im linear unabhängig sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe im drei Vektoren an, so dass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.


Aufgabe Aufgabe 20.7 ändern

Sei ein Körper, ein -Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie  , , linear unabhängig.
  2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
  3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
  4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
  5. Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
  6. Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und sei , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei der -dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine -Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.



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