Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 12

Eisenstein-Reihen

Definition

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter und  $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 3}$.  Dann heißt

$G_k(\mathrm{\Gamma }):=\sum _{z\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\frac{1}{z^k}$

die Eisensteinreihe zum Gitter $\mathrm{\Gamma }$ und zum Gewicht $k$.

Lemma

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter und  $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 3}$.  Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

1. Die Eisensteinreihen $G_k(\mathrm{\Gamma })$ sind für  $k\ge 3$  absolut konvergent.
2. Bei  $\mathrm{\Gamma }=⟨u,v⟩$  ist

   $G_k(\mathrm{\Gamma })=\sum _{n,m\in \mathbb{Z},(n,m)\ne (0,0)}\frac{1}{{(nu+mv)}^k}.$

3. Für ungerades  $k\ge 3$  ist

   $G_k(\mathrm{\Gamma })=0.$

4. Für  $s\in {ℂ}^{\times }$  ist

   $G_k(s\mathrm{\Gamma })=s^{-k}{G}_k(\mathrm{\Gamma }).$

Beweis

1. Dies ist ein Spezialfall von Lemma 11.7.
2. Das ist klar.
3. Es sei $k$ ungerade. Auf ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes $z$ mit sich und mit $-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten

   $\begin{array}{cc}{G}_k(\mathrm{\Gamma })& =\sum _{z\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\frac{1}{z^k}\\ & =\sum _{[z]\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }/\pm }(\frac{1}{z^k}+\frac{1}{(-z{)}^k})\\ & =\sum _{[z]\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }/\pm }(\frac{1}{z^k}-\frac{1}{z^k})\\ & =0.\end{array}$

4. Es ist

   $\begin{array}{cc}{G}_k(s\mathrm{\Gamma })& =\sum _{w\in (s\mathrm{\Gamma }{)}^{\prime }}\frac{1}{w^k}\\ & =\sum _{z\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\frac{1}{(sz{)}^k}\\ & =\frac{1}{s^k}\sum _{z\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\frac{1}{z^k}\\ & =\frac{1}{s^k}{G}_k(\mathrm{\Gamma }).\end{array}$

$◻$

Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in Lemma 12.2  (4) beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form $1,\tau$ mit  $\tau \in ℍ$  ist

$G_k(\mathrm{\Gamma })=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^k},$

insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter $\tau$ und damit als Funktion auf $ℍ$ auffassen.

Die $j$-Invariante

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu $\mathrm{\Gamma }$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus $ℂ/\mathrm{\Gamma }$ (siehe Satz 12.14) berücksichtigt.

Definition

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Wir setzen

$g_2=g_2(\mathrm{\Gamma })=60G_4(\mathrm{\Gamma })$

und

$g_3=g_3(\mathrm{\Gamma })=140G_6(\mathrm{\Gamma }),$

wobei $G_4$ und $G_6$ die Werte der Eisensteinreihen sind.

Definition

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Wir setzen

$\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Gamma }):=g_2^3(\mathrm{\Gamma })-27g_3^2(\mathrm{\Gamma })$

und nennen dies die Diskriminante des Gitters $\mathrm{\Gamma }$.

Definition

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Man nennt

$j(\mathrm{\Gamma }):=\frac{{(12g_2(\mathrm{\Gamma }))}^3}{\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Gamma })}$

die absolute Invariante oder die $j$-Invariante des Gitters $\mathrm{\Gamma }$.

Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der $j$-Invarianten oder der universellen Invarianten.

Bemerkung  

Für ein Gitter der Form  $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}\tau \oplus \mathbb{Z}\subseteq ℂ$  setzt man  $g_2(\tau )=g_2(\mathrm{\Gamma })$,   $g_3(\tau )=g_3(\mathrm{\Gamma })$,   $\mathrm{\Delta }(\tau )=\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Gamma })$  und  $j(\tau )=j(\mathrm{\Gamma })$. 

Lemma

Für ein Gitter  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  und  $s\in {ℂ}^{\times }$  gelten die folgenden Regeln.

1. Es ist

   $g_2(s\mathrm{\Gamma })=s^{-4}{g}_2(\mathrm{\Gamma }).$

2. Es ist

   $g_3(s\mathrm{\Gamma })=s^{-6}{g}_3(\mathrm{\Gamma }).$

3. Es ist

   $\mathrm{\Delta }(s\mathrm{\Gamma })=s^{-12}\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Gamma }).$

4. Es ist

   $j(s\mathrm{\Gamma })=j(\mathrm{\Gamma }).$

Beweis

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Lemma 12.2  (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.

$◻$

Die Eigenschaft Lemma 12.7  (4) besagt, dass die $j$-Invariante von streckungsäquivalenten Gittern gleich ist.

Beispiel

Wir betrachten das Gitter  $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\mathrm{i}$,  für das die Multiplikation mit $\mathrm{i}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 12.7  (2) auf  $s=\mathrm{i}$  an und erhalten

$g_3(\mathrm{\Gamma })=g_3(\mathrm{i}\mathrm{\Gamma })={\mathrm{i}}^{-6}{g}_3(\mathrm{\Gamma }).$

Daraus folgt  $g_3(\mathrm{\Gamma })=0$. 

Beispiel

Wir betrachten das Gitter  $\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$,  für das die Multiplikation mit $\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ das Gitter bijektiv in sich selbst überführt. Wir wenden Lemma 12.7  (1) auf  $s=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$  an und erhalten

$g_2(\mathrm{\Gamma })=g_2\left(\left(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\right)={\left(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\right)}^{-4}{g}_2(\mathrm{\Gamma }).$

Daraus folgt  $g_2(\mathrm{\Gamma })=0$. 

Die Differentialgleichung für die Weierstraßfunktion

Mit Hilfe der Eisensteinreihen können wir die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen Funktion $\mathrm{\wp }$ beschreiben.

Lemma

Die Laurent-Entwicklung der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion $\mathrm{\wp }$ im Nullpunkt ist

$\mathrm{\wp }(z)=z^{-2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\mathrm{\Gamma })z^{2k}.$

Beweis

Für die Summanden in der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion gilt unter der Bedingung  $|z|<|w|$  nach der Ableitung von Satz 9.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Gleichung

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2}& =\frac{1}{w^2}(\frac{1}{(1-\frac{z}{w}{)}^2}-1)\\ & =\frac{1}{w^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1){\left(\frac{z}{w}\right)}^n\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{z^n}{w^{n+2}}.\end{array}$

Somit gilt für alle $z$, die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte $\ne 0$ sind, die Beschreibung

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(z)& =\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}(\frac{1}{(z-w{)}^2}-\frac{1}{w^2})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{w\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\frac{z^n}{w^{n+2}})\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)\left(\sum _{w\in {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\frac{1}{w^{n+2}}\right)z^n\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n+1)G_{n+2}(\mathrm{\Gamma })z^n\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\mathrm{\Gamma })z^{2k},\end{array}$

da nach Lemma 12.2  (2) die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index $0$ sind.

$◻$

Satz

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter.

Dann besitzt der Körper der elliptischen Funktionen die Beschreibung

$ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })=ℂ(\mathrm{\wp })[{\mathrm{\wp }}^{\prime }]/(\mathrm{\wp }{\text{'}}^2-g(\mathrm{\wp }))$

mit dem kubischen Polynom

$g(\mathrm{\wp })=4{\mathrm{\wp }}^3-60G_4(\mathrm{\Gamma })\mathrm{\wp }-140G_6(\mathrm{\Gamma })=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$

in der Weierstraßschen $\mathrm{\wp }$-Funktion, wobei $G_4(\mathrm{\Gamma })$ und $G_6(\mathrm{\Gamma })$ die Werte der Eisensteinreihen für $\mathrm{\Gamma }$ bezeichnen.

Beweis

Es wurde bereits in Lemma 11.13 gezeigt, dass der Körper der elliptischen Funktionen von $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ erzeugt wird. Die Weierstraßsche Funktion $\mathrm{\wp }$ ist definitiv nicht konstant, somit ist  $ℂ(\mathrm{\wp })\cong ℂ(T)\subseteq ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })$.  Wenn wir die angesprochene algebraische Relation zwischen $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ etabliert haben, so folgt, da diese irreduzibel ist, die Beschreibung des Körpers.

Nach Lemma 12.10 ist

$\mathrm{\wp }(z)=z^{-2}+3G_4{z}^2+5G_6{z}^4+\dots .$

Daraus ergibt sich

${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-2z^{-3}+6G_{4}z+20G_6{z}^3+\dots$

und

$(\mathrm{\wp }(z){)}^3=z^{-6}+9G_4{z}^{-2}+15G_6+\dots$

und

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2=4z^{-6}-24G_4{z}^{-2}-80G_6+\dots ,$

wobei die weggelassenen höheren Terme holomorph sind. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion

$h(z)=({\mathrm{\wp }}^{\prime }(z){)}^2-4\mathrm{\wp }(z{)}^3+60G_4\mathrm{\wp }(z)+140G_6,$

die als polynomiale Kombination von elliptischen Funktionen wieder elliptisch ist, und allenfalls in den Gitterpunkten Pole besitzt. Die Laurent-Entwicklung dieser Funktion im Nullpunkt ist

$\begin{array}{cc}h(z)& =4z^{-6}-24G_4{z}^{-2}-80G_6+\dots -4(z^{-6}+9G_4{z}^{-2}+15G_6+\dots )+60G_4(z^{-2}+3G_4{z}^2+5G_6{z}^4+\dots )+140G_6\\ & =(4-4)z^{-6}+(-24-36+60)G_4{z}^{-2}+(-80-60+140)G_6{z}^0+\dots .\end{array}$

Da sich hier die Polstellenterme wegheben, ist dies eine holomorphe elliptische Funktion, die im Nullpunkt den Wert $0$ besitzt. Daher ist die Funktion nach Lemma 11.3 konstant gleich $0$ und beschreibt eine algebraische Relation zwischen $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$.

$◻$

Bemerkung  

Die Differentialgleichung

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$

aus Satz 12.11 heißt Differentialgleichung für die Weierstraßsche Funktion $\mathrm{\wp }$. Dies sieht schon ziemlich stark wie die Gleichung einer elliptischen Kurve in kurzer Weierstraßform aus.

Wir betrachten die Faktorisierung

$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3=4(\mathrm{\wp }-e_1)(\mathrm{\wp }-e_2)(\mathrm{\wp }-e_3)$

mit komplexen Zahlen $e_1,e_2,e_3$. Wenn  $\mathrm{\Gamma }=⟨v_1,v_2⟩$  das Gitter ist, so sind nach Aufgabe 11.8 die Halbierungspunkte $\frac{v_1}{2},\frac{v_2}{2},\frac{v_1+v_2}{2}$ die Nullstellen von ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ und damit auch der rechten Seite der obigen Gleichung. Man hat also  $e_i=\mathrm{\wp }\left(\frac{v_i}{2}\right)$,  wenn man  $v_3=v_1+v_2$  setzt, und die $e_i$ werden unter $\mathrm{\wp }$ nur von diesen Halbierungspunkten aus einer halboffenen Fundamentalmasche getroffen. Nach Lemma 11.11 wird auf der halboffenen Fundamentalmasche jeder Wert $w$ von $\mathrm{\wp }$ zweifach (mit Vielfachheiten gezählt) angenommen. Wenn  $\mathrm{\wp }(z)=w$  ist, so auch  $\mathrm{\wp }(-z)=w$.  Dies wenden wir auf  $w=e_i$  an, wo wir ein Urbild, nämlich $\frac{v_i}{2}$ schon kennen. Das andere Urbild stimmt aber, in die Fundamentalmasche verschoben, wieder mit $\frac{v_i}{2}$ überein. Daher sind die $e_i$ verschieden, was nach Lemma 4.8 die Glattheit der Kurve bedeutet.

Komplexe Tori und elliptische Funktionen

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Wir betrachten die Weierstraßsche p-Funktion $\mathrm{\wp }$ und ihre Ableitung ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ und betrachten die holomorphe Abbildung

$ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }⟶{ℂ}^2,z⟼(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))=(x,y).$

Das Bild erfüllt die algebraische Gleichung

$y^2=g(x)=4x^3-g_{2}x-g_3$

mit dem kubischen Polynom $g$ aus Satz 12.11. Wir betrachten die Abbildung in die projektive Ebene über die Einbettung  ${ℂ}^2=D_{+}(z)\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$. 

Satz

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter.

1. Die holomorphe Abbildung

   $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }⟶{ℂ}^2\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2,z⟼(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z))$

   lässt sich holomorph zu einer Abbildung

   $\psi :ℂ⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

   fortsetzen.

2. Dabei ist $\psi$ $\mathrm{\Gamma }$-periodisch und induziert eine holomorphe Abbildung

   $\phi :ℂ/\mathrm{\Gamma }⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^2.$

3. $\phi$ ist eine bijektive Abbildung zwischen dem komplexen Torus $ℂ/\mathrm{\Gamma }$ und der projektiven glatten kubischen Kurve

   $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

   mit der affinen Gleichung  $F(x,y)=y^2-4x^3+g_{2}x+g_3$  aus Satz 12.11.

Beweis

1. In homogenen Koordinaten liegt die Abbildung

   $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^2,z⟼(\mathrm{\wp }(z),{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z),1)$

   vor. Es sei

   $U\subseteq ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$

   die offene Teilmenge, auf der ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ keine Nullstelle besitzt. Für die affine Karte  $D_{+}(y)\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$  ergibt sich die Beschreibung

   $U⟶{ℂ}^2\cong D_{+}(y),z⟼(\frac{\mathrm{\wp }(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)},\frac{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)},\frac{1}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)})=(\frac{\mathrm{\wp }(z)}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)},1,\frac{1}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)}).$

   Da $\mathrm{\wp }$ in den Gitterpunkten einen Pol der Ordnung $2$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt, ist diese Funktion in die Gitterpunkte holomorph fortsetzbar, und zwar mit dem Wert $(0,1,0)$.

2. Da $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ elliptische Funktionen sind, ist die Abbildung auf $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$ nach Definition periodisch bezüglich $\mathrm{\Gamma }$. Wie in (1) gezeigt werden alle Gitterpunkte auf $(0,1,0)$ abgebildet, also gilt die $\mathrm{\Gamma }$-Periodizität auf ganz $ℂ$. Daher induziert dies eine stetige Abbildung

   $ℂ/\mathrm{\Gamma }⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^2,$

   und diese ist holomorph, da

   $ℂ⟶ℂ/\mathrm{\Gamma }$

   eine Überlagerung ist, siehe Satz 8.6, und sich die Holomorphie von $\psi$ auf $\phi$ überträgt.

3. Nach Satz 12.11 erfüllen $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ die affine kubische Relation

   $({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=g(\mathrm{\wp })=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3,$

   daher erfüllt das Bild von $\psi$ die entsprechende homogene kubische Gleichung. Die Glattheit der Kurve wurde in Bemerkung 12.12 festgestellt. Zur Bijektivität. Der einzige Punkt der Kurve außerhalb von $D_{+}(w)$ ist $(0,1,0)$ und dieser entspricht den Gitterpunkten. Wir können uns also auf $ℂ\setminus \mathrm{\Gamma }$ und $D_{+}(w)$ konzentrieren. Zur Injektivität. Aus  $\mathrm{\wp }(z_1)=\mathrm{\wp }(z_2)$  folgt nach Lemma 11.11, dass  $z_2=\pm z_1$  ist, und aus  ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z_1)={\mathrm{\wp }}^{\prime }(-z_1)=-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z_1)$  folgt, dass $z_1$ eine Nullstelle von ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ ist. Diese sind nach Aufgabe 11.8 gleich $v_1/2,v_2/2,(v_1+v_2)/2$, wobei $v_1,v_2$ Gittererzeuger seien. Diese Elemente stimmen aber modulo $\mathrm{\Gamma }$ mit ihrem Negativen überein.

   Zur Surjektivität. Sei  $(x,y)\in V(y^2-g(x))\subseteq D_{+}(w)$  vorgegeben. Nach Lemma 11.11 gibt es  $z\notin \mathrm{\Gamma }$  mit  $\mathrm{\wp }(z)=x=\mathrm{\wp }(-z)$.  Dabei ist  ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(\pm z{)}^2=g(\mathrm{\wp }(\pm z))=g(x)$.  Da ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ ungerade ist, ist  ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=y$  oder  ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(-z)=y$. 

$◻$

In Satz 12.13 haben wir die Abbildung in die projektive Ebene als holomorph angesprochen. Dazu fassen wir die projektive Ebene als komplexe Mannigfaltigkeit auf. Man kann aber auch die elliptische Kurve  $V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$  als komplexe Mannigfaltigkeit auffassen (vergleiche Bemerkung 7.8), nämlich als eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der projektiven Ebene mit der letztlich durch den Satz über implizite Abbildungen gesicherten holomorphen Struktur. Mit dieser Struktur is die Abbildung aus Satz 12.13 sogar biholomorph.

Satz

Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter.

Dann ist die holomorphe Abbildung

$\phi :ℂ/\mathrm{\Gamma }⟶V_{+}(F)\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^2$

aus Satz 12.13 ein Gruppenisomorphismus, wenn man für die kubische Kurve $V_{+}(F)$ den Punkt $(0,1,0)$ als Nullpunkt nimmt.

Beweis

Es wurde in Satz 12.13 gezeigt, dass eine bijektive Abbildung vorliegt. Die Addition auf der kubischen Kurve $V_{+}(F)$ ist dadurch bestimmt, dass die drei Schnittpunkte der Kurve mit einer beliebigen projektiven Geraden die Summe $𝔒$ ergeben, siehe Bemerkung 6.1 und Definition 6.2. Es ist also zu zeigen, dass die Urbilder von drei kolinearen Punkten auf $V_{+}(F)$ in $ℂ$ sich zu einem Element aus $\mathrm{\Gamma }$ aufsummieren. Wir betrachten Geraden, die durch eine affine Gleichung der Form  $y=\alpha x+\beta$  gegeben sind, für andere Geraden siehe Aufgabe 12.6. Wir betrachten die elliptische Funktion

$f(z)={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)-\alpha \mathrm{\wp }(z)-\beta .$

Diese besitzt wie ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ einen einzigen Pol im Nullpunkt der Ordnung $3$. Nach Lemma 11.5 gibt es daher drei Punkte $z_1,z_2,z_3$ mit der Gesamtnullstellenordnung $3$ (dabei können die Punkte zusammenfallen). Die positive Nullstellenordnung bedeutet dabei, dass diese Punkte unter $\psi$ auf die vorgegebene Gerade abgebildet werden. Nach Lemma 11.6 ist  $z_1+z_2+z_3\in \mathrm{\Gamma }$.  Dies bedeutet  $[z_1]+[z_2]+[z_3]=[0]$  in $ℂ/\mathrm{\Gamma }$.

$◻$

Streckungsäquivalente Gitter bzw. als komplexe Lie-Gruppen isomorphe komplexe Tori führen zu (als Varietäten und auch als abelsche Varietäten) isomorphen elliptischen Kurven, siehe Aufgabe 12.7. Isomorphe elliptische Kurven sind auch als komplexe Lie-Gruppen isomorph. Ferner kann man zeigen, dass jede elliptische Kurve über $ℂ$ zu einem komplexen Torus biholomorph ist.

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