Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 13

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Aufgaben

Die folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf den Chinesischen Restsatz für den Polynomring .

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Aufgabe

Realisiere den Produktring

als einen Restklassenring von .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und der Polynomring über . Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom die Struktur

besitzt. Zeige, dass dabei

ist.


Aufgabe *

Das Polynom besitzt in die Zerlegung

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.


Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus

von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien linear unabhängig).

  1. Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) zum homogenen Ringhomomorphismus mit , .
  2. Der Morphismus zu den beiden Schnitten im Sinne von Lemma 28.1 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).
  3. Der Morphismus im Sinne von Lemma 7.13 zur rationalen Funktion .


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper und mit zugehörigem Morphismus

Sei . Zeige, dass es einen Automorphismus

derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert.


Zu einem Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal nennt man den Faserring über .


Aufgabe

Es sei ein Körper und

die -te Potenzabbildung. Bestimme zu den Faserring über . Wann sind alle Primfaktoren von einfach?


Aufgabe *

Bestimme die Faser zum Morphismus

für die Punkte


Aufgabe *

Zeige, dass durch

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.


Aufgabe *

Bestimme den Faserring (einschließlich der Produktzerlegung) zum Morphismus

für die Punkte


Aufgabe

Diskutiere die Ausnahmen für die Gradbedingung im Beweis zu Lemma 13.3 an den Beispielen


Aufgabe

Es seien und irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine nichtkonstante Abbildung. Es sei und . Zeige


Aufgabe *

Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik , die affin durch eine Gleichung der Form

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten Verzweigung vorliegt.


Aufgabe

Es seien und endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ein Primideal von , das in verzweigt. Zeige, dass dann auch in verzweigt.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring, sei eine Einheit und sei irreduzibel in . Zeige, dass

normal ist, falls eine Einheit in ist.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring, in dem eine Einheit sei, und sei eine Ortsuniformisierende von . Bestimme, für welche der Ring

ein normaler Integritätsbereich ist.


Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist separabel.
  2. Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
  3. und die Ableitung sind teilerfremd.
  4. und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.


Die folgenden Aufgaben diskutieren, zunächst auf der Ringebene, wie sich Körperautomorphismen einer Körpererweiterung des Grundkörpers auf Varietäten auswirken.

Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein -Körperautomorphismus. Zeige, dass der Ringautomorphismus aus Aufgabe 13.21 ein -Algebraautomorphismus, aber im Allgemeinen kein -Algebraautomorphismus von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein -Körperautomorphismus. Es sei

eine endlich erzeugte kommutative -Algebra und

die entsprechende -Algebra.

  1. Zeige, dass durch ein Ringautomorphismus auf gegeben ist.
  2. Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein -Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein -Algebraautomorphismus.
  3. Es sei nun und . Zeige

    und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein -Körperautomorphismus. Es sei und , wir bezeichnen

einfach mit . Zeige

für .


Die vorstehende Aufgabe bedeutet, dass unter -Punktideale in natürlicher Weise auf Punktideale abgebildet werden. Die entsprechende Abbildung auf dem affinen Raum über wird mit bezeichnet, also

Aufgabe

Es sei ein Körper und eine endliche Galoiserweiterung. Es sei und . Zu jedem gehört der Ringautomorphismus und , vergleiche Aufgabe 13.24. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu gehört, wenn er unter allen zu auf sich selbst abgebildet wird.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein Körperautomorphismus. Es sei der zugehörige Ringautomorphismus und , , vergleiche Aufgabe 13.24. Es sei ein Polynom. Es sei . Zeige genau dann, wenn gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein -Körperautomorphismus. Es sei , die zugehörige Abbildung. Es sei ein über definiertes Polynom. Zeige, dass mit auch gilt.


Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass ein -Automorphismus auf einen Automorphismus auf einer über definierten Hyperfläche induziert. Das gilt allgemeiner für über definierte Varietäten und auch für über definierte projektiven Varietäten.

Aufgabe

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform . Es sei eine Körpererweiterung,

ein -Automorphismus und die zugehörige Abbildung auf den -rationalen Punkten der Kurve. Zeige, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.



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