Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 13
- Aufgaben
Die folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf den Chinesischen Restsatz für den Polynomring .
Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und
das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und der Polynomring über . Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom die Struktur
besitzt. Zeige, dass dabei
ist.
Das Polynom besitzt in die Zerlegung
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus
von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien linear unabhängig).
- Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) zum homogenen Ringhomomorphismus mit , .
- Der Morphismus zu den beiden Schnitten im Sinne von Lemma 28.1 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).
- Der Morphismus im Sinne von Lemma 7.13 zur rationalen Funktion .
Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper und mit zugehörigem Morphismus
Sei . Zeige, dass es einen Automorphismus
derart gibt, dass das Diagramm
kommutiert.
Zu einem Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal nennt man den Faserring über .
Bestimme die Faser zum Morphismus
für die Punkte
Zeige, dass durch
ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.
Es sei ein Körper und eine endlichdimensionale, reduzierte -Algebra. Zeige, dass dann ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ist.
Diskutiere die Ausnahmen für die Gradbedingung im Beweis zu Lemma 13.3 an den Beispielen
Es seien und irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei
eine nichtkonstante Abbildung. Es sei und . Zeige
Es sei eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik , die affin durch eine Gleichung der Form
gegeben ist. Zeige, dass unter der durch gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten Verzweigung vorliegt.
Es seien und endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ein Primideal von , das in verzweigt. Zeige, dass dann auch in verzweigt.
Es sei ein diskreter Bewertungsring, sei eine Einheit und sei irreduzibel in . Zeige, dass
normal ist, falls eine Einheit in ist.
Es sei ein diskreter Bewertungsring, in dem eine Einheit sei, und sei eine Ortsuniformisierende von . Bestimme, für welche der Ring
ein normaler Integritätsbereich ist.
Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist separabel.
- Es gibt eine Körpererweiterung derart, dass über in einfache Linearfaktoren zerfällt.
- und die Ableitung sind teilerfremd.
- und die Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
Es sei ein Körper und ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.
Die folgenden Aufgaben diskutieren, zunächst auf der Ringebene, wie sich Körperautomorphismen einer Körpererweiterung des Grundkörpers auf Varietäten auswirken.
Es sei ein Körper und sei
ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung
ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.
Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein - Körperautomorphismus. Zeige, dass der Ringautomorphismus aus Aufgabe 13.21 ein - Algebraautomorphismus, aber im Allgemeinen kein -Algebraautomorphismus von ist.
Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein - Körperautomorphismus. Es sei
eine endlich erzeugte kommutative - Algebra und
die entsprechende -Algebra.
- Zeige, dass durch ein Ringautomorphismus auf gegeben ist.
- Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein - Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein -Algebraautomorphismus.
- Es sei nun
und
.
Zeige
und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu ist.
Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein - Körperautomorphismus. Es sei und , wir bezeichnen
einfach mit . Zeige
für .
Die vorstehende Aufgabe bedeutet, dass unter
-
Punktideale
in natürlicher Weise auf Punktideale abgebildet werden. Die entsprechende Abbildung auf dem affinen Raum über wird mit bezeichnet, also
Es sei ein Körper und eine endliche Galoiserweiterung. Es sei und . Zu jedem gehört der Ringautomorphismus und , vergleiche Aufgabe 13.24. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu gehört, wenn er unter allen zu auf sich selbst abgebildet wird.
Es sei ein Körper und ein Körperautomorphismus. Es sei der zugehörige Ringautomorphismus und , , vergleiche Aufgabe 13.24. Es sei ein Polynom. Es sei . Zeige genau dann, wenn gilt.
Es sei ein Körper, eine Körpererweiterung und ein - Körperautomorphismus. Es sei , die zugehörige Abbildung. Es sei ein über definiertes Polynom. Zeige, dass mit auch gilt.
Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass ein -Automorphismus auf einen Automorphismus auf einer über definierten Hyperfläche induziert. Das gilt allgemeiner für über definierte Varietäten und auch für über definierte projektiven Varietäten.
Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper in kurzer Weierstraßform . Es sei eine Körpererweiterung,
ein - Automorphismus und die zugehörige Abbildung auf den - rationalen Punkten der Kurve. Zeige, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
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