Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 13

Aufgaben

Die folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf den Chinesischen Restsatz für den Polynomring ${}K[X]$.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Realisiere den Produktring

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }$

als einen Restklassenring von ${}\mathbb {R} [X]$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom ${}F\neq 0$ die Struktur

${}K[X]/(F)\cong K[T]/(T^{n_{1}})\times \cdots \times K[T]/(T^{n_{r}})\,$

besitzt. Zeige, dass dabei

${}\operatorname {grad} \,(F)=n_{1}+\cdots +n_{r}\,$

ist.

Aufgabe *

Das Polynom ${}X^{3}-7X^{2}+3X-21$ besitzt in ${}\mathbb {R} [X]$ die Zerlegung

${}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(1,0)$ entspricht.

b) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${}(0,1)$ entspricht.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien ${}(a,b),(c,d)\in K^{2}$ linear unabhängig).

1. Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) zum homogenen Ringhomomorphismus ${}K[X,Y]\rightarrow K[S,T]$ mit ${}X\mapsto aS+bT$, ${}Y\mapsto cS+dT$.
2. Der Morphismus zu den beiden Schnitten ${}as+bt,cs+dt\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ im Sinne von Lemma 28.1 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).
3. Der Morphismus im Sinne von Lemma 7.13 zur rationalen Funktion ${}{\frac {as+bt}{cs+dt}}\in K{\left({\frac {s}{t}}\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper ${}Q(C)=$ und ${}q\in Q(C)$ mit zugehörigem Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Sei ${}a\in K$. Zeige, dass es einen Automorphismus

$\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {q}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\\&\!\!\!\!\!q-a\searrow &\downarrow \theta \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Zu einem Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen kommutativen Ringen und einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ nennt man ${}(S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}$ den Faserring über ${}{\mathfrak {q}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

$K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-X^{n}),\,Y\longmapsto X^{n},$

die ${}n$-te Potenzabbildung. Bestimme zu ${}b\in K$ den Faserring über ${}(Y-b)$. Wann sind alle Primfaktoren von ${}X^{n}-b$ einfach?

Aufgabe *

Bestimme die Faser zum Morphismus

$V(Y^{2}-X^{3}+3X+2)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

für die Punkte

1. ${}P=0\,,$

2. ${}Q=2\,,$

3. ${}R=3\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass durch

$\varphi \colon V(Z^{2}+W^{2}-1)\longrightarrow V(X^{2}+Y^{2}-1),\,(Z,W)\longmapsto (Z^{2}-W^{2},2ZW)=(X,Y).$

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt ${}P\in V(X^{2}+Y^{2}-1)$ aus zwei Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale, reduzierte ${}K$-Algebra. Zeige, dass dann ${}A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${}K$ ist.

Aufgabe *

Bestimme den Faserring (einschließlich der Produktzerlegung) zum Morphismus

$V(Y^{2}-X^{3}+3X+2)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

für die Punkte

1. ${}P=0\,,$

2. ${}Q=2\,,$

3. ${}R=3\,.$

Aufgabe

Diskutiere die Ausnahmen für die Gradbedingung im Beweis zu Lemma 13.3 an den Beispielen

1. ${}f(x)={\frac {x+1}{x}}\,.$

2. ${}f(x)={\frac {3x^{2}+5x-3}{4x^{2}-x+1}}\,.$

3. ${}f(x)={\frac {x}{x^{2}-5}}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}C$ und ${}D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow D$

eine nichtkonstante Abbildung. Es sei ${}Q\in C$ und ${}\varphi (Q)=P$. Zeige

${}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}=\dim _{K}{\left({\mathcal {O}}_{C,Q}/{\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {O}}_{C,Q}\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$, die affin durch eine Gleichung der Form

${}Y^{2}={\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}\,$

gegeben ist. Zeige, dass unter der durch ${}X$ gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten ${}{\mathfrak {O}},\,\left(\lambda _{1},\,0\right),\,\left(\lambda _{2},\,0\right),\,\left(\lambda _{3},\,0\right)$ Verzweigung vorliegt.

Aufgabe

Es seien ${}R\subseteq S$ und ${}S\subseteq T$ endliche Erweiterungen von Dedekindbereichen. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$, das in ${}S$ verzweigt. Zeige, dass dann ${}{\mathfrak {p}}$ auch in ${}T$ verzweigt.

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring, sei ${}u\in B^{\times }$ eine Einheit und sei ${}X^{n}-u$ irreduzibel in ${}B[X]$. Zeige, dass

${}R=B[X]/{\left(X^{n}-u\right)}\,$

normal ist, falls ${}n$ eine Einheit in ${}B$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring, in dem ${}2$ eine Einheit sei, und sei ${}p$ eine Ortsuniformisierende von ${}B$. Bestimme, für welche ${}m$ der Ring

${}R=B[X]/{\left(X^{2}-p^{m}\right)}\,$

ein normaler Integritätsbereich ist.

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Polynom ${}P\in K[X]$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper ${}K\subseteq L$ mehrfache Nullstellen besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}P$ ist separabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart, dass ${}P$ über ${}L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ sind teilerfremd.
4. ${}P$ und die Ableitung ${}P'$ erzeugen das Einheitsideal.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${}F\in K[X]$ von ${}P$ ebenfalls separabel ist.

Die folgenden Aufgaben diskutieren, zunächst auf der Ringebene, wie sich Körperautomorphismen einer Körpererweiterung des Grundkörpers auf Varietäten auswirken.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ${}L[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$- Körperautomorphismus. Zeige, dass der Ringautomorphismus ${}L[X]\rightarrow L[X]$ aus Aufgabe 13.21 ein ${}K$- Algebraautomorphismus, aber im Allgemeinen kein ${}L$-Algebraautomorphismus von ${}L[X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$- Körperautomorphismus. Es sei

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra und

${}R_{L}=R\otimes _{K}L\cong L[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

die entsprechende ${}L$-Algebra.

1. Zeige, dass durch ${}\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi$ ein Ringautomorphismus auf ${}R_{L}$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein ${}K$- Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein ${}L$-Algebraautomorphismus.
3. Es sei nun ${}L=K[T]/(G)$ und ${}\varphi (T)=P\in K[T]$. Zeige

   ${}R_{L}\cong K[T,X_{1},\ldots ,X_{n}]/(G,{\mathfrak {a}})\,$

   und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu ${}T\mapsto P,X_{i}\mapsto X_{i}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$- Körperautomorphismus. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, wir bezeichnen

$\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi \colon R_{L}\longrightarrow R_{L}$

einfach mit ${}\varphi$. Zeige

${}\varphi ^{-1}(X-a_{1},\ldots ,X-a_{n})=(X-\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,X-\varphi ^{-1}(a_{n}))\,$

für ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$.

Die vorstehende Aufgabe bedeutet, dass unter ${}\varphi$ ${}L$- Punktideale in natürlicher Weise auf Punktideale abgebildet werden. Die entsprechende Abbildung auf dem affinen Raum über ${}L$ wird mit ${}\varphi ^{*}$ bezeichnet, also

${}\varphi ^{*}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,\varphi ^{-1}(a_{n}))\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zu jedem ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ gehört der Ringautomorphismus ${}\varphi \colon R_{L}\rightarrow R_{L}$ und ${}\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, vergleiche Aufgabe 13.24. Zeige, dass ein Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$ genau dann zu ${}K^{n}$ gehört, wenn er unter allen ${}\varphi ^{*}$ zu ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich selbst abgebildet wird.

Aufgabe *

Es sei ${}L$ ein Körper und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein Körperautomorphismus. Es sei ${}\varphi \colon L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der zugehörige Ringautomorphismus und ${}\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto (\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,\varphi ^{-1}(a_{n}))$, vergleiche Aufgabe 13.24. Es sei ${}F\in L[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom. Es sei ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}$. Zeige ${}P\in V(\varphi (F))$ genau dann, wenn ${}\varphi ^{*}(P)\in V(F)$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ ein ${}K$- Körperautomorphismus. Es sei ${}\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}$, ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto (\varphi ^{-1}(a_{1}),\ldots ,\varphi ^{-1}(a_{n}))$ die zugehörige Abbildung. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein über ${}K$ definiertes Polynom. Zeige, dass mit ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(F)$ auch ${}\varphi ^{*}(P)\in V(F)$ gilt.

Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass ein ${}K$-Automorphismus auf ${}L$ einen Automorphismus auf einer über ${}K$ definierten Hyperfläche ${}V(F)$ induziert. Das gilt allgemeiner für über ${}K$ definierte Varietäten und auch für über ${}K$ definierte projektiven Varietäten.

Aufgabe

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ in kurzer Weierstraßform ${}Y^{2}=X^{3}+aX+b$. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung,

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein ${}K$- Automorphismus und ${}\varphi ^{*}\colon E(L)\rightarrow E(L)$ die zugehörige Abbildung auf den ${}L$- rationalen Punkten der Kurve. Zeige, dass ${}\varphi ^{*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.