Kurs:Funktionentheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	0	5	3	5	12	4	0	0	2	7	0	0	53

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine punktierte Kreisscheibe.
2. Eine ${}{\mathbb {C} }$-antilineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen komplexen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Ein Wegintegral zu einer Differentialform.
4. Die Ordnung zu einer meromorphen Funktion.
5. Eine hebbare Singularität.
6. Die Weierstraßsche ${}\wp$-Funktion zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Umkehrfunktion in einer komplexen Variablen.
2. Der Integralsatz von Cauchy.
3. Der Wegeliftungssatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit ${}a_{n}\neq 0$. Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Zeige, dass

${}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ mit

${}\vert {z}\vert \geq r\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine komplexe Potenzreihe. Zeige, dass der Konvergenzradius genau dann gleich ${}0$ ist, wenn die Folge ${}{\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}$ unbeschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme zur Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$

die Potenzreihenentwicklung für jeden Entwicklungspunkt ${}c\neq 0$ über die Taylorentwicklung.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise die Quadratversion des Lemmas von Goursat.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-z^{2}+7z,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge ${}U\subset {\mathbb {C} }$ derart, dass der Abschluss ${}{\overline {U}}$ nicht homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über den Körper der elliptischen Funktionen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)