Kurs:Funktionentheorie/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	7	8	6	3	3	6	4	4	3	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die obere Halbebene in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.$

3. Ein lokaler Ring.
4. Eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.
5. Die äußere Ableitung einer differenzierbaren Differentialform ersten Grades.
6. Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
2. Das Lemma von Goursat (Quadratversion).
3. Der Satz über die Offenheit von holomorphen Funktionen.

Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei

${}f(z)=z^{2}+z+1\,.$

1. Zeige, dass ${}f$ auf dem offenen Ball ${}U{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}f$ auf dem abgeschlossenen Ball ${}B\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ injektiv ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das Cauchy-Produkt von absolut konvergenten Reihen absolut gegen das Produkt der beiden Summen konvergiert.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (6 (1+2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =ydx+zdy+xdz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).$

1. Berechne die äußere Ableitung von ${}\omega$.
2. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}\omega$ von ${}\omega$ unter ${}\varphi$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${}\varphi ^{*}\omega$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$.
4. Berechne den Rückzug ${}\varphi ^{*}d\omega$ von ${}d\omega$ unter ${}\varphi$ unabhängig von (3).

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Maxima von ${}\vert {z-1}\vert$ auf ${}B\left(0,1\right)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den lokalen Exponenten von

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+4z^{2}-5,$

in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Casorati-Weierstrass.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

${}f:=\exp \circ h\circ \ln \,,$

also

${}f(x):=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor ${}c$)

   ${}h(t)=ct\,$

   die zugehörige Funktion ${}f(x)$.

2. Es sei nun ${}h$ eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass ${}f$ die Bedingung

   ${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Bestimme das Residuum im Nullpunkt von

1. ${}\sin \left({\frac {1}{z}}\right)$,
2. ${}{\frac {1}{\sin z}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es abgeschlossene einfach zusammenhängende Teilmengen ${}A\subseteq {\mathbb {C} }$ gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)$ homöomorph sind.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf ${}U$, die lokal beschränkt sei. Zeige, dass dann jede Folge in ${}T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.