Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
In dieser Vorlesung möchten wir beweisen, dass Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen nur vom Homotopietyp des Weges abhängen, siehe Satz 22.3 und Korollar 22.6.
\zwischenueberschrift{Die Integralüberlagerung}
\inputkonstruktion{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ f dz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $G$ mit einer holomorphen Funktion
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {.}
Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {beispielsweise einen offenen Ball} {} {}
derart, dass die Einschränkung von $\omega$ auf $U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe
Korollar 14.3.
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_\omega
}
{ =} { G \times {\mathbb C}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
zusammen mit der Projektion nach $G$, und wir werden auf
\mathl{G \times {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
derart definieren, dass diese Projektion eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
wird. Wir betrachten die Teilmengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma(U, F )
}
{ =} { { \left\{ (P, F(P)) \mid P \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge und $F$ eine Stammfunktion zu $\omega$ auf $U$ ist. Es handelt sich also um den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
einer lokalen Stammfunktion. Wenn $U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die
\mathl{\Gamma(U, F )}{} untereinander um eine Kontante aus ${\mathbb C}$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.
Wir legen nun eine Topologie auf $G_\omega$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen
\mathl{\Gamma(U,F)}{} als offen erklären, die
\mathl{\Gamma(U,F)}{} bilden also eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist.
Sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P,y)
}
{ \in }{ \Gamma(U, F ) \cap \Gamma(V, G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dann gibt es auch einen offenen Ball
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ W
}
{ \subseteq }{U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { F(P)
}
{ =} { G(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt überhaupt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F {{|}}_W
}
{ =} { G {{|}}_W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der $\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion
\maabbdisp {} {p^{-1}(U) \cong U_\omega } {U
} {}
eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von $U$ besteht, und zwar eine für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist $G_\omega$ eine Überlagerung von $G$, man nennt sie die \stichwort {Integralüberlagerung} {} zu $\omega$.
}
Auf $G_\omega$ gibt es die wohldefinierte Abbildung \maabbeledisp {F} {G_\omega} { {\mathbb C} } {(P,G(P))} { G(P) } {,} siehe Aufgabe 22.1. Diese repräsentiert in gewisser Weise eine Stammform für $\omega$, sie ist allerdings nicht auf $G$, sondern auf der Integralüberlagerung $G_\omega$ definiert.
\inputfaktbeweis
{Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Integralüberlagerung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ fdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {G
} {}
ein stetiger, stückweise stetig-differenzierbarer Weg.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma fdz
}
{ =} { F ( \tilde {\gamma} (b)) - F ( \tilde {\gamma} (a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\maabbdisp {\tilde{\gamma}} {[a,b]} { G_\omega
} {}
eine
\definitionsverweis {Liftung}{}{}
in die
\definitionsverweis {Integralüberlagerung}{}{}
$G_\omega$ ist und $F$ die Stammform auf $G_\omega$ bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mathl{\gamma([a,b])}{}
\definitionsverweis {kompakt}{}{}
und daher gibt es eine endliche Überdeckung mit offenen Bällen $U_i$, auf denen $\omega$ eine Stammform besitzt, und Unterteilungspunkte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { t_0
}
{ <} { t_1
}
{ < \ldots <} {t_{n-1}
}
{ <} { t_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {b
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma ( [t_{i-1},t_{i}])
}
{ \subseteq} { U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem offenen Ball $U_i$ liegt. Mit einer Stammform $F_i$ zu $\omega {{|}}_{U_i}$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_i
}
{ = }{ \gamma {{|}}_{[t_{i-1} , t_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Satz 12.11
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\gamma_i} \omega
}
{ =} { F_i { \left( \gamma { \left( t_{i} \right) } \right) } - F_i { \left( \gamma { \left( t_{i-1} \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\zusatzklammer {Teil} {-} {}Liftung
\mathl{\tilde{\gamma}_i}{}
besitzt die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma}_i (t)
}
{ =} { (\gamma_i (t) , F_i(\gamma(t)) +c )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F { \left( \tilde{ \gamma} { \left( t_{i} \right) } \right) } - F { \left( \tilde{\gamma} { \left( t_{i-1} \right) } \right) }
}
{ =} { F_i(\gamma(t_i)) +c - { \left( F_i(\gamma(t_{i-1} )) +c \right) }
}
{ =} { F_i { \left( \gamma { \left( t_{i} \right) } \right) } - F_i { \left( \gamma { \left( t_{i-1} \right) } \right) }
}
{ =} { \int_{\gamma_i} \omega
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{\gamma} \omega
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_{\gamma_i} \omega
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \left( F_i { \left( \gamma { \left( t_{i} \right) } \right) } - F_i { \left( \gamma { \left( t_{i-1} \right) } \right) } \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \left( F { \left( \tilde{\gamma} { \left( t_{i} \right) } \right) } - F { \left( \tilde{\gamma} { \left( t_{i-1} \right) } \right) } \right) }
}
{ =} { F { \left( \tilde{\gamma} { \left( t_{n} \right) } \right) } - F { \left( \tilde{\gamma} { \left( t_{0} \right) } \right) }
}
}
{}
{}{.}
Die Integralüberlagerung und das vorstehende Lemma erlauben es, Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen auch zu nur stetigen Wegen zu definieren, da es für diese ja eine stetige Liftung gibt.
\zwischenueberschrift{Wegintegrale zu homotopen Wegen}
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Homotope Wege/Wegintegral/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und seien
\maabbdisp {\alpha, \beta} {[a,b]} {U
} {}
\definitionsverweis {stetige Wege}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha(a)
}
{ = }{ \beta(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha(b)
}
{ = }{ \beta(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die zueinander
\definitionsverweis {homotop}{}{}
seien.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\alpha f(z)dz
}
{ =} { \int_\beta f(z)dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
haben nach
Lemma 22.2
homotope
\definitionsverweis {Liftungen}{}{}
in die
\definitionsverweis {Integralüberlagerung}{}{}
zu
\mathl{fdz}{,} insbesondere stimmen bei gleichem Anfangspunkt auch die Endpunkte der Liftungen überein. Daher folgt die Aussage aus
Satz 21.13.
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomotoper Weg/Triviales Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {nullhomotoper}{}{}
stetiger
\definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{}
in $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma f(z)dz
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 22.3, da ja die Voraussetzung bedeutet, dass $\gamma$ homotop zum konstanten Weg ist.
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Geschlossener Weg/Triviales Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmenge und es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jeden stetigen, stückweise stetig differenzierbaren
\definitionsverweis {geschlossenen Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {I} {U
} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma f(z)dz
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Korollar 22.4.
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Differentialform exakt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
Teilmenge und es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$fdz$
\definitionsverweis {exakt}{}{,}
d.h. $f$ besitzt eine Stammfunktion.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 22.5 und aus Satz 12.14.
\zwischenueberschrift{Logarithmus und Potenzfunktionen}
Als erste Anwendung besprechen wir die Existenz von Logarithmen und Potenzfunktionen. Zuerst klären wir den Zusammenhang zwischen Stammfunktionen zu $1/z$ und \zusatzklammer {partiellen Links- oder Rechts} {} {-}Inversen zur Exponentialfunktion.
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Logarithmus/Aspekte/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $L$ ist eine Stammfunktion zu ${ \frac{ 1 }{ z } }$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right)
}
{ =} { az
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit einer Konstanten
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf jeder offenen
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
Teilmenge von $U$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp z )
}
{ =} { z +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von
\mathl{\exp^{-1} (U)}{}
\zusatzklammer {mit einer Konstanten $b$} {} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L'(z)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{L+c}{} die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{L(z) +c}
}
{ =} { e^{L(z) } e^c
}
{ =} { z
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_0
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
legt diese über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^c
}
{ =} { z_0 e^{-L(z_0)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {nicht eindeutiges} {} {}
$c_0$ fest. Es gilt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{L(z)+c_0} \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } } \cdot e^{L(z)+c_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{L(z)+c_0} \right) }^{\prime \prime}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } { \left( z { \left( e^{L(z)+c_0} \right) }' - e^{L(z)+c_0} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z^2 } } { \left( { \left( e^{L(z)+c_0} \right) } - e^{L(z)+c_0} \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{L(z)+c_0} \right) }'
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } } \cdot e^{L(z)+c_0}
}
{ =} { d
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von $z_0$ und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{L(z)+c_0}
}
{ =} { dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen der durch $z_0$ festgelegten Bedingung ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Von (2) nach (1). Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right)
}
{ =} { az
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right) \cdot L'(z)
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ az \cdot L'(z)
}
{ =} { a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Von (1) nach (3). Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Ableitung von
\mathl{L( \exp z )}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'( \exp z ) \cdot \exp z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp z } } \cdot \exp z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp z )
}
{ =} { z +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von
\mathl{\exp^{-1}(U)}{.}
Von (3) nach (1). Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp z )
}
{ =} { z +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, so ergibt sich durch ableiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'( \exp z ) \cdot \exp z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L' ( \exp z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Exponentialfunktion alle Werte $\neq 0$ annimmt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'(w)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Logarithmus und Exponentialfunktion/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
mit
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $L$ ist eine Stammfunktion zu ${ \frac{ 1 }{ z } }$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right)
}
{ =} { z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp z )
}
{ =} { z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf einer offenen nichtleeren Teilmenge von
\mathl{\exp^{-1} (U)}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Auf $U$ ist die
\definitionsverweis {komplexe Invertierung}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ z } }}{} definiert und besitzt dort nach
Korollar 22.6
eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
$L(z)$, die bis auf eine Konstante $c$ eindeutig bestimmt ist. Nach
Lemma 22.7
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right)
}
{ =} { az
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp c
}
{ =} { a^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{L}
}
{ = }{ L+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( \tilde{L} (z) \right)
}
{ =} { \exp \left( L (z) + c \right)
}
{ =} { az \cdot a^{-1}
}
{ =} { z
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir bezeichnen das modifizierte $\tilde{L}$ wieder mit $L$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_0
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_0
}
{ = }{ L(z_0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wegen der Eigenschaft (2) gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp w_0
}
{ =} { z_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gilt auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp \left( w_0 \right) )
}
{ =} { L(z_0)
}
{ =} { w_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_0
}
{ \in }{V
}
{ \subseteq }{ \exp^{-1}(U)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Gebiet, nach
Lemma 22.7
gilt darauf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L( \exp w )
}
{ =} { w +b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein $b$ und wegen dem Punktepaar muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
heißt
\definitionswort {Logarithmus}{,}
wenn sie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( L(z) \right)
}
{ =} { z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
Damit ist ein Logarithmus nur bis Verschiebung mit
\mathl{n 2 \pi { \mathrm i}}{} bestimmt, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fordert man häufig noch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L(1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_-
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man diesen den \stichwort {Hauptzweig des Logarithmus} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \notin }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {L} {U} { {\mathbb C}
} {}
ein
\definitionsverweis {Logarithmus}{}{.}
Dann nennt man zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (z)
}
{ \defeq} { \exp \left( a \cdot L(z) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Potenzfunktion}{}
zum Exponenten $a$
\zusatzklammer {bezüglich $L$} {} {.}
}
Diese Bezeichnung verwendet man hauptsächlich für den Hauptzweig des Logarithmus.
\zwischenueberschrift{Erste Homologie und Differentialformen}
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Holomorphe Differentialform/Fundamentalgruppe/Auswertung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Zuordnung
\maabbeledisp {\Psi_\omega} {\pi_1(U)} { {\mathbb C}
} {\gamma} { \int_\gamma \omega
} {,}
ein wohldefinierter
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Wohldefiniertheit beruht auf Korollar 22.4, die Homomorphieeigenschaft auf Lemma 12.7 (3).
Diese Abbildung nennt man auch die \stichwort {Periodenabbildung} {} zu $\omega$.
Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Man kann aber jeder nichtkommutativen Gruppe eine kommutative Gruppe zuordnen, indem man die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
modulo der
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
bildet, siehe die Aufgaben. Im Fall der Fundamentalgruppe nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_1(X, \Z)
}
{ \defeq} { \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X) ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die erste \stichwort {Homologiegruppe} {} von $X$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {zusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_1(X, \Z)
}
{ \defeq} { \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X) ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {erste singuläre Homologiegruppe}{}
\zusatzklammer {mit Werten in $\Z$} {} {.}
}
Diese kann man auch anders und auch mit anderen Koeffizientengruppen, etwa mit $\R$ statt mit $\Z$, konstruieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {zusammenhängender}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Man nennt einen \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} \definitionsverweis {stetigen Weg}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {X } {} \definitionswort {nullhomolog}{,} wenn seine Klasse in der ersten \definitionsverweis {Homologiegruppe}{}{} gleich $0$ ist.
} Dies bedeutet einfach, dass die Homotopieklasse in der Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe liegt.
\inputfaktbeweis
{Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomologer Weg/Triviales Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
und sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {nullhomologer}{}{}
stetiger
\definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{}
in $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma f(z)dz
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zur
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { f dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Wegauswertung
\maabbeledisp {\Psi_\omega} {\pi_1(U)} { {\mathbb C}
} {\gamma} { \int_\gamma \omega
} {,}
die nach
Lemma 22.11
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Da die Gruppe
\mathl{( {\mathbb C} , +,0)}{}
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist, besitzt
\mathl{\Psi_\omega}{} nach
dem Homomorphiesatz
eine Faktorisierung
\mathdisp {\pi_1(U) \stackrel{}{\longrightarrow} H_1(U, \Z) = \pi_1(U)/[ \pi_1(U), \pi_1(U)] \longrightarrow {\mathbb C}} { . }
Die Nullhomologie von $\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von $\gamma$ in
\mathl{H_1(U,\Z)}{} gleich $0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich $0$.