Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 22

In dieser Vorlesung möchten wir beweisen, dass Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen nur vom Homotopietyp des Weges abhängen, siehe Satz 22.3 und Korollar 22.6.

Die Integralüberlagerung

Konstruktion  

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge und sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}G$ mit einer holomorphen Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$. Für jeden Punkt ${}P\in G$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von ${}\omega$ auf ${}U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Korollar 14.3. Wir betrachten

${}G_{\omega }=G\times {\mathbb {C} }\,,$

zusammen mit der Projektion nach ${}G$, und wir werden auf ${}G\times {\mathbb {C} }$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen

${}\Gamma (U,F)={\left\{(P,F(P))\mid P\in U\right\}}\,,$

wobei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge und ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}\omega$ auf ${}U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn ${}U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die ${}\Gamma (U,F)$ untereinander um eine Kontante aus ${}{\mathbb {C} }$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.

Wir legen nun eine Topologie auf ${}G_{\omega }$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen ${}\Gamma (U,F)$ als offen erklären, die ${}\Gamma (U,F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu ${}(P,y)\in \Gamma (U,F)\cap \Gamma (V,G)$. Dann ist ${}P\in U\cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball ${}P\in W\subseteq U\cap V$. Wegen

${}y=F(P)=G(P)\,$

gilt überhaupt

${}F{|}_{W}=G{|}_{W}\,.$

Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge ${}U\subseteq G$, auf der ${}\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion

$p^{-1}(U)\cong U_{\omega }\longrightarrow U$

eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von ${}U$ besteht, und zwar eine für jedes ${}y\in {\mathbb {C} }$. Daher ist ${}G_{\omega }$ eine Überlagerung von ${}G$, man nennt sie die Integralüberlagerung zu ${}\omega$.

Auf ${}G_{\omega }$ gibt es die wohldefinierte Abbildung

$F\colon G_{\omega }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,G(P))\longmapsto G(P),$

siehe Aufgabe 22.1. Diese repräsentiert in gewisser Weise eine Stammform für ${}\omega$, sie ist allerdings nicht auf ${}G$, sondern auf der Integralüberlagerung ${}G_{\omega }$ definiert.

Lemma

Es sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der zugehörigen holomorphen Differentialform ${}\omega =fdz$ und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

ein stetiger, stückweise stetig-differenzierbarer Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=F({\tilde {\gamma }}(b))-F({\tilde {\gamma }}(a))\,,$

wobei

${\tilde {\gamma }}\colon [a,b]\longrightarrow G_{\omega }$

eine Liftung in die Integralüberlagerung ${}G_{\omega }$ ist und ${}F$ die Stammform auf ${}G_{\omega }$ bezeichnet.

Beweis

Es ist ${}\gamma ([a,b])$ kompakt und daher gibt es eine endliche Überdeckung mit offenen Bällen ${}U_{i}$, auf denen ${}\omega$ eine Stammform besitzt, und Unterteilungspunkte

${}a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\,$

derart, dass

${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}\,$

in einem offenen Ball ${}U_{i}$ liegt. Mit einer Stammform ${}F_{i}$ zu ${}\omega {|}_{U_{i}}$ und ${}\gamma _{i}=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ist nach Satz 12.11

${}\int _{\gamma _{i}}\omega =F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\,.$

Die (Teil-)Liftung ${}{\tilde {\gamma }}_{i}$ besitzt die Form

${}{\tilde {\gamma }}_{i}(t)=(\gamma _{i}(t),F_{i}(\gamma (t))+c)\,$

mit einem ${}c\in {\mathbb {C} }$. Somit ist

${}{\begin{aligned}F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}&=F_{i}(\gamma (t_{i}))+c-{\left(F_{i}(\gamma (t_{i-1}))+c\right)}\\&=F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\\&=\int _{\gamma _{i}}\omega .\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{n}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{0}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Die Integralüberlagerung und das vorstehende Lemma erlauben es, Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen auch zu nur stetigen Wegen zu definieren, da es für diese ja eine stetige Liftung gibt.

Wegintegrale zu homotopen Wegen

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien

$\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$

stetige Wege mit ${}\alpha (a)=\beta (a)$ und ${}\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.

Dann ist

${}\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$

Beweis

${}\alpha$ und ${}\beta$ haben nach Lemma 22.2 homotope Liftungen in die Integralüberlagerung zu ${}fdz$, insbesondere stimmen bei gleichem Anfangspunkt auch die Endpunkte der Liftungen überein. Daher folgt die Aussage aus Satz 21.13.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein nullhomotoper stetiger geschlossener Weg in ${}U$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }f(z)dz=0\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 22.3, da ja die Voraussetzung bedeutet, dass ${}\gamma$ homotop zum konstanten Weg ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist für jeden stetigen, stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen Weg ${}\gamma \colon I\rightarrow U$

${}\int _{\gamma }f(z)dz=0\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Korollar 22.4.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene, einfach zusammenhängende Teilmenge und es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist die Differentialform ${}fdz$ exakt, d.h. ${}f$ besitzt eine Stammfunktion.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 22.5 und aus Satz 12.14.

$\Box$

Logarithmus und Potenzfunktionen

Als erste Anwendung besprechen wir die Existenz von Logarithmen und Potenzfunktionen. Zuerst klären wir den Zusammenhang zwischen Stammfunktionen zu ${}1/z$ und (partiellen Links- oder Rechts)-Inversen zur Exponentialfunktion.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

   (mit einer Konstanten ${}a\neq 0$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}U$.

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z+b\,$

   auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$ (mit einer Konstanten ${}b$).

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}L'(z)={\frac {1}{z}}$, wobei ${}L+c$ die gleiche Eigenschaft besitzt. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant auf jeder offenen zusammenhängenden Umgebung von ${}z_{0}$ und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist ${}d=1$. Von (2) nach (1). Wenn

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

gilt, so ist

${}\exp \left(L(z)\right)\cdot L'(z)=a\,.$

Also ist

${}az\cdot L'(z)=a\,$

und damit

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,.$

Von (1) nach (3). Wenn

${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,$

ist, so ist die Ableitung von ${}L(\exp z)$ gleich

${}L'(\exp z)\cdot \exp z={\frac {1}{\exp z}}\cdot \exp z=1\,.$

Also ist

${}L(\exp z)=z+b\,$

mit ${}b\in {\mathbb {C} }$ auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$. Von (3) nach (1). Wenn

${}L(\exp z)=z+b\,$

gilt, so ergibt sich durch ableiten

${}L'(\exp z)\cdot \exp z=1\,,$

also

${}L'(\exp z)={\frac {1}{\exp z}}\,.$

Da die Exponentialfunktion alle Werte ${}\neq 0$ annimmt, ist

${}L'(w)={\frac {1}{w}}\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Menge mit ${}0\notin U$.

Dann gibt es eine holomorphe Funktion ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

1. Es ist

   ${}L'(z)={\frac {1}{z}}\,,$

   d.h. ${}L$ ist eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{z}}$.

2. Es ist

   ${}\exp \left(L(z)\right)=z\,.$

3. Es ist

   ${}L(\exp z)=z\,$

   auf einer offenen nichtleeren Teilmenge von ${}\exp ^{-1}(U)$.

Beweis

Auf ${}U$ ist die komplexe Invertierung ${}{\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Korollar 22.6 eine Stammfunktion ${}L(z)$, die bis auf eine Konstante ${}c$ eindeutig bestimmt ist. Nach Lemma 22.7 gilt

${}\exp \left(L(z)\right)=az\,$

mit ${}a\neq 0$. Es sei

${}\exp c=a^{-1}\,.$

Dann besitzt ${}{\tilde {L}}=L+c$ nach wie vor die Ableitungseigenschaft und es gilt

${}\exp \left({\tilde {L}}(z)\right)=\exp \left(L(z)+c\right)=az\cdot a^{-1}=z\,.$

Wir bezeichnen das modifizierte ${}{\tilde {L}}$ wieder mit ${}L$. Es sei ${}z_{0}\in U$ und ${}w_{0}=L(z_{0})$, wegen der Eigenschaft (2) gilt

${}\exp w_{0}=z_{0}\,.$

Somit gilt auch

${}L(\exp \left(w_{0}\right))=L(z_{0})=w_{0}\,.$

Es sei ${}w_{0}\in V\subseteq \exp ^{-1}(U)$ ein Gebiet, nach Lemma 22.7 gilt darauf

${}L(\exp w)=w+b\,$

für ein ${}b$ und wegen dem Punktepaar muss ${}b=0$ sein.

$\Box$

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge. Eine holomorphe Funktion ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ heißt Logarithmus, wenn sie

${}\exp \left(L(z)\right)=z\,$

für alle ${}z\in U$ erfüllt.

Damit ist ein Logarithmus nur bis Verschiebung mit ${}n2\pi {\mathrm {i} }$ bestimmt, bei ${}1\in U$ fordert man häufig noch ${}L(1)=0$. Wenn ${}U={\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R} _{-}$ nennt man diesen den Hauptzweig des Logarithmus.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge mit ${}0\notin U$ und sei ${}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ ein Logarithmus. Dann nennt man zu ${}a\in {\mathbb {C} }$ die Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit

${}f(z):=\exp \left(a\cdot L(z)\right)\,$

die Potenzfunktion zum Exponenten ${}a$ (bezüglich ${}L$).

Diese Bezeichnung verwendet man hauptsächlich für den Hauptzweig des Logarithmus.

Erste Homologie und Differentialformen

Lemma

Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf einer zusammenhängenden offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist die Zuordnung

$\Psi _{\omega }\colon \pi _{1}(U)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Die Wohldefiniertheit beruht auf Korollar 22.4, die Homomorphieeigenschaft auf Lemma 12.7  (3).

$\Box$

Diese Abbildung nennt man auch die Periodenabbildung zu ${}\omega$.

Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Man kann aber jeder nichtkommutativen Gruppe eine kommutative Gruppe zuordnen, indem man die Restklassengruppe modulo der Kommutatoruntergruppe bildet, siehe die Aufgaben. Im Fall der Fundamentalgruppe nennt man

${}H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,$

die erste Homologiegruppe von ${}X$.

Definition

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt

${}H_{1}(X,\mathbb {Z} ):=\pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\,$

die erste singuläre Homologiegruppe (mit Werten in ${}\mathbb {Z}$).

Diese kann man auch anders und auch mit anderen Koeffizientengruppen, etwa mit ${}\mathbb {R}$ statt mit ${}\mathbb {Z}$, konstruieren.

Definition

Es sei ${}X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt einen geschlossenen stetigen Weg

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

nullhomolog, wenn seine Klasse in der ersten Homologiegruppe gleich ${}0$ ist.

Dies bedeutet einfach, dass die Homotopieklasse in der Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe liegt.

Korollar

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

ein nullhomologer stetiger geschlossener Weg in ${}U$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }f(z)dz=0\,.$

Beweis

Zur holomorphen Differentialform

${}\omega =fdz\,$

betrachten wir die Wegauswertung

$\Psi _{\omega }\colon \pi _{1}(U)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

die nach Lemma 22.11 ein Gruppenhomomorphismus ist. Da die Gruppe ${}({\mathbb {C} },+,0)$ kommutativ ist, besitzt ${}\Psi _{\omega }$ nach dem Homomorphiesatz eine Faktorisierung

$\pi _{1}(U){\stackrel {}{\longrightarrow }}H_{1}(U,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(U)/[\pi _{1}(U),\pi _{1}(U)]\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Die Nullhomologie von ${}\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von ${}\gamma$ in ${}H_{1}(U,\mathbb {Z} )$ gleich ${}0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich ${}0$.

$\Box$

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