Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Holomorphe und antiholomorphe Ableitung}
Bei einer reell differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
ist das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reell-lineare Abbildung
\maabbdisp {\left(Df\right)_{P}} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {.}
Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
beschrieben. Nach
Lemma 3.2
kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer
\definitionsverweis {komplex-antilinearen}{}{}
Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C} \cong \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {holomorphe Ableitung}{}
von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C} \cong \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial x } } + { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {antiholomorphe Ableitung}{}
von $f$.
}
Es gilt dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial z } } + { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { { \mathrm i} { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial z } } - { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen
\mathkor {} {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } }} {und} {{ \frac{ \partial f }{ \partial y } }} {.}
Man kann sie bereits dann definieren, wenn $f$ partiell differenzierbar ist.
\inputbeispiel{}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial z }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ \partial (x+ { \mathrm i} y) }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial (x+ { \mathrm i} y) }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial (x + { \mathrm i} y) }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial \overline{ z } }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ \partial (x - { \mathrm i} y) }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial (x- { \mathrm i} y) }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial (x - { \mathrm i} y) }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } +{ \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } { \mathrm i}
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{.}
}
Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von \mathkor {} {z} {und} {\overline{ z }} {,} siehe Aufgabe 4.1.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {f} {G} {{\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung.}
\faktfolgerung {Genau dann ist $f$ auf $G$
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $G$ gilt.}
\faktzusatz {In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g+h { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit reellwertigen Funktionen
\maabb {g,h} {G} { \R
} {.}
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ = }{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } } + { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ = }{ { \mathrm i} { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial z } } - { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial f }{ \partial y } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial x } } + { \mathrm i} { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial y } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial y } } \right) } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ \partial g }{ \partial x } } - { \frac{ \partial h }{ \partial y } } + { \mathrm i} { \left( { \frac{ \partial h }{ \partial x } } + { \frac{ \partial g }{ \partial y } } \right) } \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Bedingungen in
Satz 3.5
für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich $0$ sind. Es ist generell
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial z } } + { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial g }{ \partial x } } + { \mathrm i} { \frac{ \partial h }{ \partial x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist
\mathl{{ \frac{ \partial f }{ \partial z } } (P)}{} gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist $f'(P)$.
Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g + { \mathrm i} h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zerlegt, so ist
\zusatzklammer {vergleiche
Bemerkung 3.3} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial x } } (P) , \, { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (P) \right)
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) & { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) \\ { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) & { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) & - { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) \\ { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) - { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) & { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) \end{pmatrix}
+ { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) - { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) & { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) \\ { \frac{ \partial h }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial g }{ \partial y } } (P) & - { \frac{ \partial g }{ \partial x } } (P) + { \frac{ \partial h }{ \partial y } } (P) \end{pmatrix}
}
{ } {}
}
{}
{}{}
die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${\mathbb C}$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist $f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen.}
\faktuebergang {Dann erfüllt die
\definitionsverweis {holomorphe Ableitung}{}{}
${ \frac{ \partial }{ \partial z } }$ folgende Regeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( cf ) }{ \partial z } }
}
{ =} { c { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f+g) }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial z } } + { \frac{ \partial g }{ \partial z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial z } }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial z } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial z } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial z } } }{ g^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) für reelles $c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen
\mathkor {} {{ \frac{ \partial }{ \partial x } }} {und} {{ \frac{ \partial }{ \partial y } }} {}
gemäß
Lemma 43.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Für komplexes $c$ muss man zusätzlich die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ h+g { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial x } }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial x } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial y } }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial y } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die in dieser Form auf
Aufgabe 4.2
beruht. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial (fg) }{ \partial z } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial fg }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial fg }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \left( f { \frac{ \partial g }{ \partial x } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial x } } \right) } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \left( f { \frac{ \partial g }{ \partial y } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial y } } \right) }
}
{ =} { f { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial g }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial g }{ \partial y } } \right) } +g { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial x } } - { \frac{ { \mathrm i} }{ 2 } } \cdot { \frac{ \partial f }{ \partial y } } \right) }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial z } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial z } }
}
}
{}
{}{.}
Für die Quotientregel siehe
Aufgabe 4.4.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {G} {{\mathbb C}
} {}
reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildungen.}
\faktuebergang {Dann erfüllt die
\definitionsverweis {antiholomorphe Ableitung}{}{}
${ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }$ folgende Regeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial ( cf ) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { c { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f+g) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } + { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (f g) }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } + g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial { \frac{ f }{ g } } }{ \partial \overline{ z } } }
}
{ =} { { \frac{ g { \frac{ \partial f }{ \partial \overline{ z } } } - f { \frac{ \partial g }{ \partial \overline{ z } } } }{ g^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungvier{Siehe Aufgabe 4.5. }{Siehe Aufgabe 4.6. }{Siehe Aufgabe 4.7. }{Siehe Aufgabe 4.18. }
\zwischenueberschrift{Winkeltreue lineare Abbildungen}
Für von $0$ verschiedene Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ folgt aus der
der Ungleichung von Cauchy-Schwarz,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion
\definitionsverweis {Kosinus}{}{}
\zusatzklammer {als bijektive Abbildung
\maabb {} {[0, \pi]} { [-1,1]
} {}} {} {}
bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (v,w)
}
{ \defeq} { \arccos { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \Complex
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem reellen Standardskalarprodukt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle a+b { \mathrm i} , c+d { \mathrm i} \right\rangle
}
{ =} { ac+bd
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist der Winkel zwischen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ a+b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ c+d { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (v,w)
}
{ \defeq} { \arccos { \frac{ ac+bd }{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} } }
}
{ =} { \arccos { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( v \cdot \overline{ w } \right) } }{ \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
heißt
\definitionswort {winkeltreu}{,}
wenn für je zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u, v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (\varphi(u), \varphi(v))
}
{ =} {\angle (u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Da Winkel nur für von $0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind
\definitionsverweis {Streckungen}{}{}
um einen von $0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe
Aufgabe 35.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet. Für eine reell-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\Complex} { \Complex
} {}
kann man die Winkeltreue auch dadurch ausdrücken, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( \varphi( v) \cdot \overline{ \varphi(w) } \right) } }{ \betrag { \varphi(v) } \cdot \betrag { \varphi(w) } } }
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( v \cdot \overline{ w } \right) } }{ \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, da ja der Kosinus in dem angegebenen Bereich bijektiv ist.
\inputbemerkung
{}
{
Bei einer
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt ja der Winkel des Dreiecks an $Q$ wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (P,Q,R)
}
{ =} { \angle (\overrightarrow{ Q P } , \overrightarrow{ Q R } )
}
{ =} { \angle ( \varphi ( \overrightarrow{ Q P } ), \varphi( \overrightarrow{ Q R } ))
}
{ =} { \angle ( \overrightarrow{ \varphi (Q) \varphi( P) } ), \overrightarrow{ \varphi( Q) \varphi(R) } )
}
{ =} { \angle (\varphi(P),\varphi(Q), \varphi(R))
}
}
{}{}{}
mit dem Winkel an
\mathl{\varphi(Q)}{} des Bilddreiecks
\mathl{\varphi(P), \varphi(Q), \varphi(R)}{} überein.
}
\inputbeispiel{{{{2}}}}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis
\mathl{1, { \mathrm i}}{} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird diese Abbildung durch die reelle
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Diese schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sqrt{a^2+b^2} & 0 \\ 0 & \sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } & - { \frac{ b }{ \sqrt{a^2+b^2} } } \\ { \frac{ b }{ \sqrt{a^2+b^2} } } & { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie
\zusatzklammer {einer
\definitionsverweis {Drehung}{}{}} {} {}
und einer
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
mit dem Streckungsfaktor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} {\sqrt{a^2+b^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere eine
\definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{}
vor. Dies folgt auch aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( zv \cdot \overline{ zw } \right) } }{ \betrag { zv } \cdot \betrag { zw } } }
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( z \cdot \overline{ z } \cdot v \cdot \overline{ w } \right) } }{ \betrag { z }^2 \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( v \cdot \overline{ w } \right) } }{ \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { \overline{ z }
} {,}
ist eine
$\R$-\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}
Für das reelle Skalarprodukt auf ${\mathbb C}$ ist ja
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle \overline{ \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } , \overline{ \begin{pmatrix} c \\d \end{pmatrix} } \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \begin{pmatrix} a \\-b \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} c \\-d \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { ac+bd
}
{ =} { \left\langle \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} c \\d \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher liegt insbesondere eine
\definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{}
vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( \overline{ v } \cdot \overline{ \overline{ w } } \right) } }{ \betrag { \overline{ v } } \cdot \betrag { \overline{ w } } } }
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( \overline{ v } \cdot w \right) } }{ \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ =} { { \frac{
\operatorname{Re} \, { \left( v \cdot \overline{ w } \right) } }{ \betrag { v } \cdot \betrag { w } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgern.
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Struktur/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
und eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabbdisp {\sigma} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \sigma \circ \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \det \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { \sqrt[n]{ \betrag { r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $n$ die Dimension von $V$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi
}
{ \defeq} { \sigma^{-1} \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {.}
Nach
Aufgabe 33.18 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist $\psi$ eine Isometrie.
\inputfaktbeweis
{C nach C/Reell linear/Winkeltreu/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {L} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine
$\R$-\definitionsverweis {lineare}{}{,}
\definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist entweder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { C \circ \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $C$ die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
und $\mu$ die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $\neq 0$ bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch eine komplexe Konjugation kann man davon ausgehen, dass die Determinante eine positive reelle Zahl $r$ ist. Durch die reelle Streckung mit dem Faktor ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{r} } }$ kann man davon ausgehen, dass eine winkeltreue lineare Abbildung mit Determinante $1$ vorliegt. Nach Satz 4.11 haben wir eine reelle Isometrie, und nach Satz 34.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) liegt eine ebene Drehung vor. Diese sind die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag $1$.
\zwischenueberschrift{Holomorphe Abbildungen und Winkeltreue}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Conformal map.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine holomorphe Abbildung ist winkeltreu.} }
\bildlizenz { Conformal map.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {gemeinfrei} {}
Eine komplex-differenzierbare Abbildung, deren Ableitung nirgendwo gleich $0$ ist, hat somit die Eigenschaft, dass in jedem Punkt die lineare Approximation winkeltreu ist. Dies wirkt sich dahingehend aus, dass ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf ein krummliniges Koordinatensystem abgebildet wird, dass die Bildkoordinatenlinien aber nach wie vor senkrecht aufeinander stehen.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Joukowsky transform.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Joukowsky transform.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Die \stichwort {Joukowski-Abbildung} {} ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( z+ { \frac{ 1 }{ z } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben und auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 0\}}{} definiert. Sie ist abgesehen von den beiden Nullstellen
\mathl{1,-1}{} der Ableitung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 1- { \frac{ 1 }{ z^2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
winkeltreu. Unter der Abbildung wird die Einheitskreislinie auf das reelle Intervall $[-1,1]$ abgebildet. Kreise mit Mittelpunkt $0$ werden auf Ellipsen abgebildet. Andere Kreise werden auf verschiedene Figuren abgebildet, die als Tragflächenprofile Verwendung finden.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Conformal power minus one.svg} }
\end{center}
\bildtext {Einige Bildkurven der cartesischen Koordinatenlinien der Einheitskreisscheibe unter der komplexen Invertierungsfunktion $z^{-1}$.} }
\bildlizenz { Conformal power minus one.svg } {} {Kraaiennest} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Gebiet/Reell stetig-differenzierbar/Holomorph und winkeltreu orientierungserhaltend/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {f} {G} { {\mathbb C}
} {}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare}{}{}
Abbildung derart, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in jedem Punkt
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ auf $G$ genau dann
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{,}
wenn $\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {winkeltreu}{}{}
und
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Hinrichtung ergibt sich aus Beispiel 4.6, da ja im Falle der komplexen Differenzierbarkeit das totale Differential die Multiplikation mit der komplexen Zahl $f'(P)$ beschreibt. Wenn umgekehrt die beiden Bedingungen erfüllt sind, so ist die Determinante der Jacobi-Matrix stets positiv und daher liegt in Lemma 4.12 stets der erste Fall vor, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Conformal power three.svg} }
\end{center}
\bildtext {Einige Urbildkurven von Koordinatenlinien zu $z \mapsto z^3$ vom Sechstelsektor in die obere Halbebene.} }
\bildlizenz { Conformal power three.svg } {} {Kraaiennest} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}