Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/19/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 3 3 4 1 3 2 2 2 4 2 1 3 2 8 3 5 3 57




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Differenzmenge zu zwei Mengen .
  2. Eine konstante Abbildung .
  3. Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl teilt
  4. Das Maximum zu einer nichtleeren Teilmenge .
  5. Die Addition von rationalen Zahlen und .
  6. Ein archimedisch angeordneter Körper .


Lösung

  1. Man nennt

    die Differenzmenge ohne “.

  2. Die Abbildung heißt konstant, wenn es ein mit für alle gibt.
  3. Man sagt, dass die natürliche Zahl die natürliche Zahl teilt, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass ist.
  4. Das Element heißt das Maximum von , wenn ist und wenn für alle gilt.
  5. Die Addition der rationalen Zahlen und ist durch

    definiert.

  6. Ein angeordneter Körper heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit
    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
  2. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
  3. Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.


Lösung

  1. Aus einer Gleichung mit und mit folgt .
  2. Sei eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
  3. Es sei ein Element in einem [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|archimedisch angeordneten Körper]] . Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge , , gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

  1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
  2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
  3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?


Lösung

Hinter einem Strafnachmittag verbergen sich insgesamt Ermahnungen und hinter einem Elterngespräch verbergen sich Ermahnungen.

  1. Es ist

    dies ist in der Tadelwährung gleich .

  2. Die Tadelwährung bedeutet

    Einzelermahnungen.

  3. Wenn die Strafnachmittage abzuleisten sind, sobald sie anfallen, so kommt, bei vier Strafnachmittagen, das Elterngespräch zusätzlich dazu, ohne dass diese verschwinden. Das Elterngespräch resultiert zwar aus vier Strafnachmittagen, hebt diese aber nicht wertgleich auf, wie das im Münzsystem oder im Dezimalsystem ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Lösung

Die Bedingungen sind:

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes

ist die Abbildung

bijektiv.

Für jedes Paar

ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge cm und mit einem Durchmesser von cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke mm.

  1. Wer verwendet mehr Butter?
  2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
  3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?


Lösung

  1. Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche (in Quadratzentimetern) gleich

    Wegen hat Heidi Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich

    Lucy verwendet also mehr Butter.

  2. Lucy verwendet

    Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.

  3. Es ist

    Lucy kann also Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.


Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.


Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.


Lösung

Es sei

Wir wollen zeigen, dass ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle gilt. Nach der ersten Bedingung ist

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für , dass aus stets folgt. Damit erfüllt beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, so dass gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Biderketa konbinatoria.svg

Welche mathematische Konstruktion und welcher Sachverhalt wird durch das Bild illustriert?


Lösung Produktmenge/Illustration/Bedeutung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl und ein Teiler von . Zeige, dass dann gilt.


Lösung

Da der Teiler ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung beide Faktoren . Wegen Fakt *****  (3) ist daher


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste Zahl derart, dass in der Primfaktorzerlegung von die mit Exponenten vorkommt.


Lösung

Es ist . In

steckt offenbar die zweimal als Faktor drin. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung tritt der Primfaktor in nur dann auf, wenn er als Primfaktor eines Faktors, also einer Zahl auftritt. Die kleinsten Zahlen, die Vielfache von sind, sind und .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

wobei bei der Binomialkoeffizient als zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

  1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
  2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
  3. Bestimme und .
  4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Lösung

  1. Es kann kein neutrales Element von links geben, da für gilt
  2. ist das neutrale Element von rechts. Für ist

    und dies gilt auch für .

  3. Es ist

    und

  4. Die Verknüpfung ist nich assoziativ, beispielsweise ist

    aber


Aufgabe (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen kann man aus dem Rest der Divison durch direkt den Rest der Divison durch ablesen“. Was ist davon zu halten?


Lösung

Das stimmt nicht. Zwar stimmen für beide Divisionen die Gleichungen überein, allerdings sind die Restbedingungen bzw. verschieden.


Aufgabe (1 Punkt)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl die Überträge stets sind.


Lösung

Der andere Faktor sei durch die Zifferndarstellung gegeben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Ziffernindex . Der Induktionsanfang ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass der Übertrag , der von der -ten Stelle herrührt, ist. Der folgende Übertrag ist durch die Division mit Rest somit ist

festgelegt. Für die -te Ziffer gilt und somit ist

Daher ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.


Lösung Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe/Lösung


Aufgabe weiter

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese , mit der Eigenschaft, dass sie von verschieden ist, und deren Quadrat

ist. Die ist also eine Quadratwurzel der . Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl eine neue Zahl, nennen wir sie mal , geben, die nicht ist, die aber auch

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn , ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für genauer an.“

  1. Berechne
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl in die Ebene einzuzeichnen. Da die der auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der zur mit einer Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für von der ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

    Grad an, und die gleiche Länge wie die . Skizziere die Situation. Wo platziert sie ?

  5. Bestätige die Gleichung

    für ein beliebiges .

  6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

    gelten muss. Wie kommt sie darauf?

  7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für auch von der Skizze her begründen?


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist
  4. 3rd roots of unity correction.svg




  5. Durch distributives Ausmultiplizieren ergibt sich
  6. Die Zahl erfüllt

    Daher muss nach der vorstehenden algebraischen Gleichung

    gelten. Wegen ist der linke Faktor nicht . Wenn man also für den neuen Zahlenbereich auch die Nichtnullteilereigenschaft voraussetzt, so muss der andere Faktor gleich sein, also

  7. Die drei Punkte der Ebene bilden ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene. Wenn man die Punkte vektoriell addiert, ergibt sich (der Schwerpunkt) .


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Lösung

Für jede ganze Zahl ist generell

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit und . Wenn man darin gleich setzt, ergibt sich wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus gefunden, die als Lösung besitzen. Wenn man

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

Für diese ist nur eine Lösung.


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

  1. Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
  2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
  3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?


Lösung

  1. Der Mittelpunkt von und besitzt die Koordinaten .
  2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten (). Da es Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien und zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von und ganzzahlige Koordinaten.
  3. Die vier Punkte

    zeigen, dass dies nicht gelten muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Es besteht die didaktische Diskussion, ob man in der Schule ausgehend von den natürlichen Zahlen zuerst die ganzen Zahlen und von da aus die rationalen Zahlen einführen soll, oder aber, ob man ausgehend von zuerst die nichtnegativen rationalen Zahlen und dann die rationalen Zahlen einführen soll. Welche Argumente könnten für den einen Weg, welche für den anderen Weg sprechen?


Lösung Zahlensystem/N nach Q/Argumente/Aufgabe/Lösung