Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/20/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 4 2 5 3 1 2 4 5 0 4 3 2 2 1 1 0 2 2 49




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Eine Relation auf einer Menge .
  3. Die Menge der ganzen Zahlen.
  4. Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen .
  5. Ein Prozent.
  6. Eine wachsende Abbildung auf einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
  3. Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen , der und der Menge , die die negativen ganzen Zahlen heißen.
  4. Die natürliche Zahl heißt ein gemeinsames Vielfaches der , wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.
  5. Ein Prozent ist .
  6. Die Abbildung heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente mit auch gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. /Fakt/Name
  3. /Fakt/Name


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

  1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
  2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
  3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
  4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
  5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
  6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
  7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
  8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
  9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?


Lösung

Nach (7) liegt der Ponyabschnitt Pone-Pona-Pono oder Pono-Pona-Pone vor. Nach (2) sind somit nur die Ponyreihenfolgen Pone-Pona-Pono-Ponu oder Ponu-Pono-Pona-Pone möglich. Nach (8) sitzt auf Pono Nanny oder Sanny, nach (4) sitzt aber Sanny auf Pona oder Pone. Deshalb sitzt Nanny auf Pono. Nach (5) reitet Nanny direkt hinter Sanny. Bei der Reihenfolge Ponu-Pono-Pona-Pone müsste also Sanny auf Ponu reiten, was nach (4) ausgeschlossen ist. Also ist die Reihenfolge Pone-Pona-Pono-Ponu und Sanny reitet auf Pona. Nach (9) reitet Hanny auf Ponu und folglich reitet Fanny auf Pone.

Reihenfolge Pony Reiterin
1 Pone Fanny
2 Pona Sanny
3 Pono Nanny
4 Ponu Hanny


Aufgabe (2 Punkte)

Führe die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die erste binomische Formel für ganze Zahlen zurück.


Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als

Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Zu sei der minimale Eurobetrag, für den man mindestens Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.

  1. Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für ablesbar sind?
  2. Was ist ?


Lösung

  1. Für alle weiteren muss man dazuaddieren.

  2. Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.


Lösung

4Mengennur2Schritte.png

Es gibt Möglichkeiten.


Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaklinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?


Lösung

Die einzige Möglichkeit ist, dass beide Kontaklinsen im rechten Auge gelandet sind. Somit ist die Abbildung nicht injektiv ( Elemente haben den gleichen Wert), und auch nicht surjektiv, da das linke Auge nicht getroffen wird. Insbesondere ist die Abbildung nicht bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man die als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; ist eine Darstellung)?


Lösung

Wir müssen nur die Darstellung zählen, wo die Summanden in absteigender Größe geordnet sind.

also Darstellungen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen die Beziehung


Lösung

Wir führen Induktion nach (für beliebiges ). Bei

steht links

und rechts steht die einfache Potenzierung , das stimmt also überein. Zum Induktionsschluss nehmen wir an, dass die Aussage für ein bestimmtes schon bewiesen sei und wir müssen die entsprechende Aussage für zeigen. Unter Verwendung von Lemma 9.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) und der Induktionsvorausetzung ist

was den Induktionsschritt beweist. Nach dem Induktionsprinzip ist die Aussage allgemein bewiesen.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Bei ist nach Fakt *****  (1). Also ist

und wegen folgt mit Fakt ***** daraus . Sei die Aussage für ein (und beliebige und ) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger zu zeigen. Die Bedingung

kann bei wegen Fakt ***** nicht gelten. Also ist ein Nachfolger, sagen wir . Somit ist

Aus der Abziehregel folgt

und aus der Induktionsvoraussetzung folgt

also


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit .

  1. Zeige, dass der Binomialkoeffizient zumindest Primteiler besitzt.
  2. Man gebe ein Beispiel mit , wo das Produkt von zwei Primzahlen ist.


Lösung Binomialkoeffizient/Mindestens 2 Primteiler/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Im Eindeutigkeitsbeweis für die Division mit Rest „ durch “ stehen folgende Notationsmöglichkeiten zur Auswahl.

  1. Diskutiere Vor- und Nachteile der einzelnen Notationen.


Lösung Division mit Rest/Eindeutigkeitsbeweis/Notation/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Führe die Multiplikation mit dem Jalousie-Verfahren durch.


Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei die Nachfolgerabbildung und die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne


Lösung

Es wird siebenmal der Nachfolger und achtmal der Vorgänger genommen, also insgesamt einmal der Vorgänger. Das Ergebnis ist daher .


Aufgabe (1 Punkt)

Activation ISRLU.svg

Beschreibe den Verlauf der skizzierten Funktion in Worten.


Lösung Funktionsgraph/Beschreibung/Worte/1/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.


Lösung Teilbarkeit/Größergleichordnung/Analogien/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.


Lösung

Man möchte eine Aussage beweisen. Man nimmt an, dass nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann nicht gelten und also muss gelten.