Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 42/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vergleiche und .
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Erläutere, warum die Schreibweise für die -te Wurzel aus sinnvoll ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in kein Element mit gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Aufgabe Aufgabe 42.9 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in vier Lösungen für die Gleichung
gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vergleiche
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Menge
wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.
b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.
c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.
d) Ist das Element positiv oder negativ?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man nicht in der Form
mit schreiben kann.
Zu einem kommutativen Ring bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach
.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Vergleiche
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das inverse Element zu in .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper, und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in sechs Lösungen für die Gleichung
gibt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien ganze Zahlen und eine Lösung der Gleichung
Zeige, dass eine ganze Zahl ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und , . Es seien positive ganze Zahlen. Zeige
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