Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 42/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche und .




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge durch drei Quadrate mit Seitenlänge überdecken?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Erläutere, warum die Schreibweise für die -te Wurzel aus sinnvoll ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die Zahl rational?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die reelle Zahl

rational?


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.


Aufgabe Aufgabe 42.12 ändern

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in vier Lösungen für die Gleichung

gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man konstruiere einen kommutativen Ring , in dem die mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in die (positiven) Elemente und existieren. Welches ist größer?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper mit , wobei keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

ein Körper ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Menge

wobei zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ist und dass zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass zu einem angeordneten Körper wird und dass positiv wird.

c) Fasse die Elemente von als Punkte im auf. Skizziere eine Trennlinie im , die die positiven von den negativen Elementen in trennt.

d) Ist das Element positiv oder negativ?


Zu einem kommutativen Ring bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in eine Untergruppe von bilden.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei die zugehörige Äquivalenzrelation auf . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die erfülle diese Eigenschaft).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Menge

  1. Zeige, dass eine Untergruppe von (bezüglich der Addition) ist.
  2. Zeige, dass unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
  3. Zeige, dass die rationalen als Diagonalmatrizen enthält.
  4. Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.
  5. Zeige, dass ein Körper ist.
  6. Zeige, dass eine Quadratwurzel zu enthält.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein angeordneter Körper enthalte die Wurzeln und . Zeige, dass auch enthält.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass

eine Untergruppe von bildet.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt . Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf die Relation , falls gilt.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Es sei

    die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf durch

    eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

  3. Zeige, dass eine kommutative Gruppe ist.
  4. Es sei ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem und jedes die Wurzel gibt. Zeige, dass die Zuordnung

    ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper, und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in sechs Lösungen für die Gleichung

gibt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man nicht in der Form

mit schreiben kann.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ganze Zahlen und eine Lösung der Gleichung

Zeige, dass eine ganze Zahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper und , . Es seien positive ganze Zahlen. Zeige



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