Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 41

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei . Zeige, dass

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.


Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe

Es bezeichne die (multiplikative) Einheitengruppe von . Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von nach an.


Aufgabe

Sei . Wir betrachten die Restklassengruppe

Zeige, dass die Abbildung

kein Gruppenhomomorphismus ist.


Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben


Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus besteht.

Aufgabe *

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.


Aufgabe

Stelle in der Restklassengruppe die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen und dar.

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.

  1. Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
  2. Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
  3. Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
  4. Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
  5. Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.


Aufgabe

ParalleleGeradenEbene.png

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.


Aufgabe *

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe

Es sei ein Teiler von . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo und modulo besonders einfach berechnen?


Aufgabe

Es seien und kommutative Gruppen und sei eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation auf . Es sei ein Gruppenhomomorphismus mit . Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus mit gibt.


Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.4, dass jede Untergruppe von ein Ideal ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Erstelle für Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe . Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im -System zu tun?


Aufgabe *

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch und Primzahlen sind?


Aufgabe

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe

Bestimme den Rest von modulo .


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe *

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe *

Sei und der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass eine Einheit modulo genau dann ist, wenn und teilerfremd sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Abbildung

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

für die folgenden Körper :

a) ,

b) ,

c) , der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 11.4,

d) , der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 41.11.


Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper aus Beispiel 41.11.


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

über dem Körper aus Beispiel 41.11.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag

ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe (2 Punkte)

Stelle in der Restklassengruppe die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen und dar.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (3 Punkte)

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne über das Matrizenprodukt


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper aus Beispiel 41.11.



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