Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche ${}{\sqrt[{10}]{10}}$ und ${}{\sqrt[{3}]{2}}$.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge ${}5$ durch drei Quadrate mit Seitenlänge ${}4$ überdecken?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erläutere, warum die Schreibweise ${}x^{\frac {1}{k}}$ für die ${}k$-te Wurzel aus ${}x$ sinnvoll ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne ${}{\sqrt[{12}]{2}}^{2}\cdot {\sqrt[{6}]{2}}^{5}$.

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Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

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Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die Zahl ${}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$ rational?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ist die reelle Zahl

${\sqrt {\frac {1}{11}}}$

rational?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe Aufgabe 42.12 ändern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Z} /(5)$ vier Lösungen für die Gleichung

${}x^{4}=1\,$

gibt.

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Man konstruiere einen kommutativen Ring ${}R$, in dem die ${}4$ mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche

${\sqrt[{2}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{3}},\,{\sqrt[{4}]{4}},\,{\sqrt[{5}]{5}}.$

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Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Vergleiche

${\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a,b,c\in K_{+}$ mit ${}a\geq b\geq c$. Zeige

${}{\sqrt {a+b}}+{\sqrt {a-b}}\leq {\sqrt {a+c}}+{\sqrt {a-c}}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

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Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper mit ${}{\sqrt {n}}\in K_{+}$, wobei ${}n\in \mathbb {N}$ keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

${}{\left\{p+q{\sqrt {n}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq K\,$

ein Körper ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit ${}R^{\times }$ bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach ${}K^{\times }=K\setminus \{0\}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K^{\times }$ bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K_{+}$ bilden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{2}\subseteq \mathbb {Q} _{+}$ die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei ${}\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Q} _{+}$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die ${}1$ erfülle diese Eigenschaft).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Menge

${}R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ eine Untergruppe von ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
2. Zeige, dass ${}R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
3. Zeige, dass ${}R$ die rationalen ${}\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
4. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
5. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.
6. Zeige, dass ${}R$ eine Quadratwurzel zu ${}-1$ enthält.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-4+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{3}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke

${\sqrt[{3}]{6}}\cdot {\sqrt[{4}]{5}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass

${}U={\left\{x\in K_{+}\mid {\text{Es gibt ein }}m\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}x^{m}\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

eine Untergruppe von ${}(K_{+},1,\cdot )$ bildet.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}(p,m)\sim (q,n)$, falls ${}p^{n}=q^{m}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${}Q$ durch

   ${}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${}Q$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${}p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${}{\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{n}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Z} /(7)$ sechs Lösungen für die Gleichung

${}x^{6}=1\,$

gibt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht in der Form

${}{\sqrt {3}}=p+q{\sqrt {2}}\,$

mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ ganze Zahlen und ${}x\in \mathbb {Q}$ eine Lösung der Gleichung

${}x^{2}+ax+b=0\,.$

Zeige, dass ${}x$ eine ganze Zahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$, ${}a\geq 1$. Es seien ${}m\geq n$ positive ganze Zahlen. Zeige

${}{\sqrt[{m}]{a}}\leq {\sqrt[{n}]{a}}\,.$