Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 43/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Bestimme
![{\displaystyle [-3,2]\,\cap \,]-2,3[.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043f608cdafdfdb9966f831c199c2edf3da51af4)
- Übungsaufgaben
Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige
![{\displaystyle {}[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5a6e660b5cdc1a9c76f6e6b0d486328c3f6937)
![{\displaystyle {}x,y\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e18bbfbe19b695d78c9d6a1a361645c6269573)
Schreibe die Menge
![{\displaystyle ]-3,-2[\,\cup \,\{7\}\,\cup \,{\left([-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]\right)}\,\cup \,[1,{\frac {7}{3}}]\,\cup \,[-{\frac {1}{2}},{\frac {6}{5}}[\,\cup \,{\left(\,]-7,-6]\cap \mathbb {R} _{+}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ad23e299d5b8d1cb9a6c6d0a845f2ea9519d9d)
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei abgeschlossenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein abgeschlossenes Intervall ist.
Zeige, dass der Durchschnitt von einem abgeschlossenen und einem offenen Intervall in einem angeordneten Körper offen, abgeschlossen und halboffen sein kann.
Es seien Intervalle in einem angeordneten Körper mit . Zeige, dass die Vereinigung wieder ein Intervall ist.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in eine rationale Zahl gibt.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und ein Intervall mit den Intervallgrenzen . Zeige, dass es in unendlich viele rationale Zahlen gibt.
![{\displaystyle {}I=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9415455379ef65b8bcc5629a5e182b7e8909e52)
![{\displaystyle {}M={\left\{x\in K\mid -x\in [a,b]\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7025aafe24545cff2e2a36b1e7fa667e9ffce5)
![{\displaystyle {}M={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2cde8c1d0e4d16d4ab5b854673ee2c79269051)
Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
![{\displaystyle [0,1]\longrightarrow [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fc22750b985520510e9cda871da51a8f8d149a)
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
Es sei ein angeordneter Körper und seien verschiedene Punkte aus . Zeige, dass es Intervalle und mit positiver Länge, mit , und mit gibt.
Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.
a)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
- Bestimme die Glieder der
Heron-Folge
zur Berechnung von mit dem Startglied
- Finde ganze Zahlen
mit
Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Für ein Folgenglied gelte . Zeige, dass auch für alle weiteren Glieder die Folge konstant gleich ist.
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl (mit einem positiven Startwert ) berechnen möchte?
Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert die Quadratwurzel von berechnen möchte?
Es sei
Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls positiv und an der rechten Grenze negativ ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.
![{\displaystyle {}[-5,-4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e5b14bb03560b44778506e8b9793f2c08b0991)
Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Es sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige
für alle .
Es sei ein angeordneter Körper und sei . Zu einem positiven betrachten wir die Folge , die durch die Rekursionsvorschrift
definiert sei.
- Berechne die Glieder zu und .
- Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von zum positiven Startwert , der
erfülle. Zeige
für alle .
- Zeige, dass gegen konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in eine Quadratwurzel von gibt).
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder stets eine nichtkonstante Folge entsteht.
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass der Durchschnitt von zwei offenen Intervallen in einem angeordneten Körper wieder ein offenes Intervall ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper , die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung bilden.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Es ist und . Führe, ausgehend vom Intervall , Intervallhalbierungen derart durch, dass der Wert der Funktion an der linken Grenze des Intervalls negativ und an der rechten Grenze positiv ist, bis ein Intervall der Länge erreicht ist.
![{\displaystyle {}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5d0a058030cf6f54dea8f7b56f08f18cfa7e4f)