Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 22

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Zeige, dass die Isotropiegruppen zu zwei äquivalenten Elementen in natürlicher Weise isomorph sind.


Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 22.2 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

  1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
  2. ist die Vereinigung aller .
  3. Sei . Das Element kommt in genau zwei der vor. In welchen?
  4. Die Halbachsenklasse enthält Elemente.


Aufgabe

Überprüfe die Formel
für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.


Aufgabe

Sei eine Gruppe, eine Menge und

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von . Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.


Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.


Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?


Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der realisieren lässt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge sind.


Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente aus der alternierenden Gruppe .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und vier Geraden im durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

eine lineare, eigentliche Isometrie mit für . Zeige, dass die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Drehungen um die -Achse, die -Achse und die -Achse mit den Ordungen ( ist also eine Drehung um den Winkel Grad um die -Achse, etc.). Es sei . Für welche Tupel ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.



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