Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 22

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Zeige, dass die Isotropiegruppen zu zwei äquivalenten Elementen ${}x,y\in M$ in natürlicher Weise isomorph sind.

Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 22.2 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
2. ${}G$ ist die Vereinigung aller ${}G_{H}$.
3. Es sei ${}g\neq \operatorname {Id} \,$. Das Element ${}g$ kommt in genau zwei der ${}G_{H}$ vor. In welchen?
4. Die Halbachsenklasse ${}K_{i}$ enthält ${}n/n_{i}$ Elemente.

Aufgabe

Überprüfe die Formel

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}M$ eine Menge und

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \sigma _{g},$

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von ${}M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm({\mathfrak {P}}\,(M))} \,,\,g\longmapsto (N\mapsto g(N)),$

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.

Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?

Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der ${}\operatorname {SO} _{n}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge ${}\neq 0,1$ sind.

Aufgabe

Bestimme die Ordnungen der Elemente aus der alternierenden Gruppe ${}A_{5}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A_{1},A_{2},A_{3}$ und ${}A_{4}$ vier Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare, eigentliche Isometrie mit ${}f(A_{i})=A_{i}$ für ${}i=1,2,3,4$. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ Drehungen um die ${}x$-Achse, die ${}y$-Achse und die ${}z$-Achse mit den Ordungen ${}\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$ (${}\varphi _{1}$ ist also eine Drehung um den Winkel ${}360/\ell _{1}$ Grad um die ${}x$-Achse, etc.). Es sei ${}1\leq \ell _{1}\leq \ell _{2}\leq \ell _{3}$. Für welche Tupel ${}(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})$ ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.