Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	0	3	0	3	0	0	9	0	0	0	0	0	29

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
2. Eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}z$ in einem Körper ${}K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
3. Eine algebraische Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ${}G$.
5. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Lösung

1. Für Elemente ${}x,y\in G$ setzt man ${}x\sim _{H}y$, wenn ${}x^{-1}y\in H$ gilt.
2. Ein Element ${}z\in K$ heißt ${}n$-te Einheitswurzel, wenn ${}z^{n}=1$ ist.
3. Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$ ist.
4. Die Kommutatorgruppe in ${}G$ ist die von allen Kommutatoren ${}aba^{-1}b^{-1}$, ${}a,b\in G$, erzeugte Untergruppe.
5. Die Gerade ${}G$ heißt aus ${}T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte ${}P,Q\in T$ derart gibt, dass ${}G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
6. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ mit ${}L=K(f_{1},\ldots ,f_{n})$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$. Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
3. /Fakt

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${}*$ auf ${}\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass ${}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${}1*1=1$. Zeige, dass ${}*$ die übliche Multiplikation sein muss.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass ${}1$ das neutrale Element zur Verknüpfung ${}*$ ist. Für eine natürliche Zahl ${}n$ ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

${}n*1=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*1=\underbrace {1*1+\cdots +1*1} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}}=n\,.$

Für negatives ${}m$ mit ${}m=-n$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}0=0*1=(n+m)*1=n*1+m*1=n+m*1\,$

und daraus folgt

${}m*1=-n=m\,.$

Für einen Bruch ${}{\frac {m}{n}}$ mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

${}\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}=m\,$

und

${}m=m*1={\left(\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*1=\underbrace {{\frac {m}{n}}*1+\cdots +{\frac {m}{n}}*1} _{n{\text{ Summanden}}}\,.$

Damit ist

${}{\frac {m}{n}}*1={\frac {m}{n}}\,,$

da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert ${}m$ ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen ${}n,m$

${}n*m=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*m=\underbrace {1*m+\cdots +1*m} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {m+\cdots +m} _{n{\text{ Summanden}}}=nm\,.$

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

${}{\frac {a}{b}}=1*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}+\cdots +{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}\,$

muss

${}{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}={\frac {a}{bn}}\,$

sein (für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$), da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${}n$-fach mit sich selbst addiert den Wert ${}{\frac {a}{b}}$ ergibt. Daher ist schließlich ist

${}{\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}=a*{\frac {1}{b}}*c*{\frac {1}{d}}=a*c*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}=(ac)*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{bd}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

alle verschieden sind.

Lösung

Da ${}G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

$g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$

eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}g^{-m}$ und erhalten

${}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$

Also ist die Ordnung von ${}g$ maximal gleich ${}n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Lösung

Die multiplikative Ordnung ist ein Teiler von ${}12$. Wir bestimmen zuerst die Ordnung von ${}2$. Es ist

$2^{2}=4\neq 1,\,2^{3}=8\neq 1,\,2^{4}=16=3\neq 1,\,2^{6}=64=-1.$

Daher muss die Ordnung ${}12$ sein und ${}2$ ist eine primitive Einheit. Daher gibt es einen

Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {Z} /(12),+,0)\longrightarrow \mathbb {Z} /(13)^{\times },\,n\longmapsto 2^{n},$

der Erzeuger auf Erzeuger abbildet. Die Erzeuger links sind ${}1,5,7,11$ (die zu ${}12$ teilerfremden Zahlen), und diese werden auf die primitiven Einheiten

$2^{1}=2,\,2^{5}=32=6,\,2^{7}=6\cdot 4=11,\,2^{11}=2^{-1}2^{12}=2^{-1}=7$

abgebildet.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${}0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Satz Anhang 5.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${}p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${}K$ den Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber ${}K$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da ${}K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${}n$ die Dimension, ${}n\geq 1$. Dann hat man eine ${}\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie

${}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$

und somit besitzt ${}K$ gerade ${}p^{n}$ Elemente.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.

Lösung

Nach Satz 10.16 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen ${}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen ${}m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also ${}m>n$ an. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$. Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.$

Ihr Rang ist maximal gleich ${}n$, da sie nur ${}n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${}m$ Spalten, sagen wir

${}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei nicht alle ${}b_{j}$ gleich ${}0$ sind. Wir betrachten nun

$\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},$

wobei wir die Automorphismen ${}\varphi _{j}$ als Charaktere von ${}L^{\times }$ nach ${}L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${}v\in L$ schreiben wir ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes ${}i$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Satz 14.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nicht sein kann.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung