Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 5 0 0 0 0 3 0 0 9 0 0 0 0 0 23




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  2. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  3. Eine algebraische Körpererweiterung .
  4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  5. Eine aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbare Gerade .
  6. Eine rein transzendente Körpererweiterung .


Lösung

  1. Für Elemente setzt man , wenn gilt.
  2. Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
  3. Die Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn jedes Element algebraisch über ist.
  4. Die Kommutatorgruppe in ist die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe.
  5. Die Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte gibt, so dass die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
  6. Die Körpererweiterung heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente mit gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
  3. /Fakt/Name


Lösung

  1. /Fakt
  2. Es sei eine Primzahl und , . Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.
  3. /Fakt


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung auf derart gegeben, dass ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte . Zeige, dass die übliche Multiplikation sein muss.


Lösung

Wir zeigen zuerst, dass das neutrale Element zur Verknüpfung ist. Für eine natürliche Zahl ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

Für negatives mit und ist

und daraus folgt

Für einen Bruch mit ist

und

Damit ist

da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

muss

sein (für ), da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert den Wert ergibt. Daher ist schließlich ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.


Lösung

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Satz Anhang 5.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit bezeichnet. Das bedeutet, dass den Körper enthält. Damit ist aber ein Vektorraum über , und zwar, da endlich ist, von endlicher Dimension. Sei die Dimension, . Dann hat man eine -Vektorraumisomorphie

und somit besitzt gerade Elemente.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.


Lösung

Nach Satz 10.16 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist endlich. Wir setzen und und müssen zeigen. Nehmen wir also an. Es sei eine -Basis von und die Elemente in der Galoisgruppe seien . Wir betrachten die Matrix

Ihr Rang ist maximal gleich , da sie nur Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den Spalten, sagen wir

wobei nicht alle gleich sind. Wir betrachten nun

wobei wir die Automorphismen als Charaktere von nach auffassen. Für ein beliebiges Element schreiben wir . Mit diesen Bezeichnungen gilt

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen sind für jedes . Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Satz 14.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nicht sein kann.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


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Aufgabe (0 Punkte)


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Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


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