Lösung
- Für Elemente setzt man , wenn gilt.
- Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
- Die
Körpererweiterung
heißt algebraisch, wenn jedes Element
algebraisch
über ist.
- Die Kommutatorgruppe in ist die von allen
Kommutatoren
, ,
erzeugte Untergruppe.
- Die Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte derart gibt, dass die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
- Die Körpererweiterung
heißt
rein transzendent,
wenn es
algebraisch unabhängige
Elemente mit
gibt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- /Fakt/Name
- Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
- /Fakt/Name
Lösung
Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung auf derart gegeben, dass ein
kommutativer Ring
ist. Ferner gelte
.
Zeige, dass die übliche Multiplikation sein muss.
Lösung
Wir zeigen zuerst, dass das neutrale Element zur Verknüpfung ist. Für eine natürliche Zahl ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz
-
Für negatives mit
und
ist
-
und daraus folgt
-
Für einen Bruch mit
ist
-
und
-
Damit ist
-
da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert ergibt.
Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen
-
Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen
-
muss
-
sein
(für
),
da dies die einzige rationale Zahl ist, die -fach mit sich selbst addiert den Wert ergibt. Daher ist schließlich ist
-
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.
Lösung
Nach
Satz 10.16 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
ist endlich. Wir setzen
und
und müssen
zeigen. Nehmen wir also
an. Es sei eine
-
Basis
von und die Elemente in der Galoisgruppe seien . Wir betrachten die Matrix
-
Ihr
Rang
ist maximal gleich , da sie nur Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den Spalten, sagen wir
-
wobei nicht alle gleich sind. Wir betrachten nun
-
wobei wir die Automorphismen als
Charaktere
von nach auffassen. Für ein beliebiges Element
schreiben wir
.
Mit diesen Bezeichnungen gilt
da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen
sind für jedes . Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was
nach Satz 14.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
nicht sein kann.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung