Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 19/latex

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In dieser Vorlesung möchten wir zunächst nachweisen, dass es sich bei einem Kreisteilungskörper über $\Q$ um eine Galoiserweiterung handelt, deren Galoisgruppe abelsch ist und eine Struktur besitzt, die unmittelbar mit den Einheitswurzeln zusammenhängt.






\zwischenueberschrift{Kreisteilungskörper als Galoiserweiterung}

Wir kommen nun zur Galoiseigenschaft der Kreisteilungskörper über $\Q$.




\inputfaktbeweis
{Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K_n$ der $n$-\definitionsverweis {te Kreisteilungskörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q ) }
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei entspricht der Einheit
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} derjenige Automorphismus
\mathl{\varphi_a \in \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )}{,} der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta^a$ abbildet.}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Korollar 18.10 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K_n }
{ =} { \Q[X]/ (\Phi_{n}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} ist. Dieses ist das Produkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Phi_{n} }
{ = }{ \prod_{i = 1}^{\varphi (n)} (X- z_i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über alle \definitionsverweis {primitiven Einheitswurzeln}{}{} und damit vom Grad
\mathl{{\varphi (n)}}{.} Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über $K_n$ in Linearfaktoren und daher ist $K_n$ der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} des Kreisteilungspolynoms und somit nach Satz 15.6 eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}

Es sei nun $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen $X$ entspricht. Zu
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} ist $\zeta^a$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus \maabbeledisp {} {\Q[X]} { \Q[X]/( \Phi_{n} ) } {X} { \zeta^a } {.} Dieser ist surjektiv, da $\zeta^a$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Phi_{n} { \left( \zeta^a \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} induziert dies einen Automorphismus \maabbeledisp {} { \Q[X]/( \Phi_{n} ) } { \Q[X]/( \Phi_{n} ) } {\zeta} { \zeta^a } {.} Dadurch erhalten wir eine Zuordnung \maabbeledisp {} {( \Z/(n) )^\times} { \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q ) } {a} { \varphi_a } {.} Für
\mathl{a,a' \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_{ a a'} (\zeta) }
{ =} { \zeta^{a a'} }
{ =} { { \left( \zeta^{a'} \right) }^{a} }
{ =} { \varphi_a { \left( \zeta^{a'} \right) } }
{ =} { \varphi_a ( \varphi_{a'} (\zeta) ) }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { (\varphi_a \circ \varphi_{a'} ) (\zeta) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,} so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_{ a a'} }
{ = }{ \varphi_a \circ \varphi_{a'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {da die Automorphismen auf dem Erzeuger $\zeta$ festgelegt sind} {} {.} Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \neq }{a' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta^{a} }
{ \neq }{ \zeta^{a'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi_a }
{ \neq }{ \varphi_{a'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts
\mathl{{\varphi (n)}}{} Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den achten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_8$. Die Einheitengruppe
\mathl{(\Z/(8))^{\times}}{} ist
\mathl{\{1,3,5,7\}}{,} wobei $3,5,7$ die Ordnung $2$ besitzen. Die nach Satz 19.1 zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen
\mathl{\varphi_3, \, \varphi_5,\, \varphi_7}{,} die auf den Einheitswurzeln \zusatzklammer {$\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel} {} {} folgendermaßen wirken.
\mathdisp {\varphi_3: \zeta \longleftrightarrow \zeta^3, \, \zeta^2 = { \mathrm i} \longleftrightarrow \zeta^6 =- { \mathrm i} , \, \zeta^5 \longleftrightarrow \zeta^7} { , }

\mathdisp {\varphi_5: \zeta \longleftrightarrow \zeta^5, \, { \mathrm i} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{10} = { \mathrm i} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^{7}, \, - { \mathrm i} \longleftrightarrow - { \mathrm i}} { , }
und
\mathdisp {\varphi_7: \zeta \longleftrightarrow \zeta^7, \, { \mathrm i} =\zeta^2 \longleftrightarrow \zeta^{14}=- { \mathrm i} , \, \zeta^3 \longleftrightarrow \zeta^5} { . }


}





\inputfaktbeweis
{Abelsche Gruppe/Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von Q/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Zu jeder \definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {abelschen Gruppe}{}{} $G$}
\faktfolgerung {gibt es eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} deren \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} gleich $G$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach einem elementaren Satz, den wir hier nicht beweisen, lässt sich $G$ als \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{} einer \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} auffassen. Es sei \maabbdisp {q} {{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times} } {G } {} der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und $H$ der \definitionsverweis {Kern}{}{} davon. Nach Satz 19.1 ist
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} die \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} der $n$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{ K_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ K_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Fixkörper}{}{} zu $H$. Nach Satz 16.4 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit Galoisgruppe $G$.

}


Es ist ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von $\Q$ auftritt. Diese Fragestellung gehört zur sogenannten \stichwort {inversen Galoistheorie} {.}






\zwischenueberschrift{Galoiseigenschaften des Kompositums}

Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.


\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M_1,M_2 }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} \definitionsverweis {erzeugten Unterkörper}{}{} das \definitionswort {Kompositum}{} der beiden Körper \zusatzklammer {in $L$} {} {.} Es wird mit
\mathl{M_1M_2}{} bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{Endliche separable Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{K' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{L K' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{ L }
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {separabel}{}{,} und seien
\mathl{F_i \in K[X]}{} die zu $x_i$ gehörigen \zusatzklammer {\definitionsverweis {separablen}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{ K'[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Minimalpolynome $G_i$ der $x_i$ über $K'$ sind in
\mathl{K'[X]}{} Teiler der $F_i$ und daher selbst separabel. Nach Satz 12.7 ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Normale endliche Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{K' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{LK' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls eine normale Körpererweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{K[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome
\mathl{F_i \in K[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_i(x_i) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die über $L$ zerfallen. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{K'[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dieselben Polynome, aufgefasst in
\mathl{K'[X]}{,} erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Satz 14.3  (3) ergibt sich die Normalität.

}


Aus diesen zwei Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.




\inputfaktbeweis
{Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{K' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das \definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{LK' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebildet sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} gilt die \definitionsverweis {natürliche}{}{} \definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) }
{ \cong} {\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} L \cap K' ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \definitionsverweis {normal}{}{} nach Lemma 19.6 und \definitionsverweis {separabel}{}{} nach Lemma 19.5, also eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} aufgrund von Satz 15.6.}
{} Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung \maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) } { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } {\varphi} { \varphi {{|}}_L } {,} aus, die wegen der \definitionsverweis {Normalität}{}{} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Satz 14.3  (4) ein wohldefinierter \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. \teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_L }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ L } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{K'} }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ K' } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, ist $\varphi$ auf dem Kompositum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L' }
{ = }{LK' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Identität, also das neutrale Element. Daher ist $\Psi$ nach dem Kernkriterium \definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\Psi$ ist eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ \operatorname{bild} \Psi }
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper
\mathbed {Z} {}
{K \subseteq Z \subseteq L} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} Z ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und zwar ist $Z$ der \definitionsverweis {Fixkörper}{}{} von $H$. Es liegt also insgesamt die Situation
\mathdisp {\operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \Psi = H =\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} Z ) \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )} { }
vor. Wir behaupten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L \cap K' }
{ = }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für jedes
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi {{|}}_{K'} }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ K' } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi {{|}}_{L} ){{|}}_{L \cap K'} }
{ = }{ \operatorname{Id}_{ L \cap K' } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L \cap K' }
{ \subseteq }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn
\mathl{x \in Z}{} ist, so bedeutet dies, dass für jedes
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' )}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi {{|}}_L) (x) }
{ = }{ x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Dann ist aber
\mathl{x \in K'}{} nach Satz 15.6, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K' }
{ \subseteq }{L' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist. Somit ist
\mathl{x \in L \cap K'}{.} Insgesamt ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L' {{|}} K' ) }
{ \cong} { \operatorname{bild} \Psi }
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} L \cap K' ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)