Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 5

Euklidische Bereiche

Ringe, in denen man eine Division mit Rest sinnvoll durchführen kann, bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$ , für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).

Die in der Definition auftauchende Abbildung ${}\delta$ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.

Satz

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl.

Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$ , ${}0\leq r\leq d-1$ , mit

${}n=qd+r\,.$

Beweis

Zur Existenz. Bei ${}n=0$ ist ${}q=r=0$ eine Lösung. Es sei ${}n$ positiv. Da ${}d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches ${}ad\geq n$ . Daher gibt es auch eine Zahl ${}q$ mit $qd\leq n$ und $(q+1)d>n$ . Es sei ${}r:=n-qd$ . Dann ist

{}qd\leq qd+r<qd+d\,

und daher ist ${}0\leq r<d$ wie gewünscht. Bei ${}n$ negativ kann man ${}-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$ schreiben nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

{}n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,

Im zweiten Fall erfüllen ${}q=-{\tilde {q}}-1$ und ${}r=d-{\tilde {r}}$ die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Es sei

{}qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}\,,

wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${}{\tilde {r}}\geq r$ . Dann gilt ${}(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$ . Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als ${}d$ , links steht aber ein Vielfaches von ${}d$ , sodass die Differenz ${}0$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$ . Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(T)=0$ , also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$ . Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

{}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\,\end{aligned}}

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.

Daraus ergibt sich insgesamt

{}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$ . Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

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Bemerkung

Für einen Körper ${}K$ ist der Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion ${}\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring ${}K[X]$ und ${}\mathbb {Z}$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft

{}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)\,.

Nullstellen von Polynomen

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ .

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ , wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Beweis

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

{}P=(X-a)Q\,

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

{}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

{}P=(X-a)Q+R\,,

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

{}P(a)=R\,.

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,

wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Beweis

In einer echten Primfaktorzerlegung von ${}P$ , ${}\operatorname {grad} \,(P)\leq 3$ , muss ein Polynom vom Grad eins vorkommen, also ein lineares Polynom. Ein lineares Polynom ${}X-a$ teilt aber nach Lemma 5.5 das Polynom ${}P$ genau dann, wenn ${}P(a)=0$ ist.

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Beispiel

Das Polynom ${}X^{4}+1$ ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in ${}\mathbb {R} [X]$ nach Lemma 5.5 auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung

{}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,

ist das Polynom aber nicht irreduzibel.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ( $\neq 0$ ) vom Grad ${}d$ .

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$ . Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Lemma 5.5 und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$ , sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$ . Dies kann nach Lemma 1.23 nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$ .

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 5.1.

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Beispiel

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in ${}{\mathbb {C} }[X]$ als

{}X^{2}+1=(X+{\mathrm {i} })(X-{\mathrm {i} })\,.

Ebenso ist das Polynom ${}X^{2}-5\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel, aber über ${}\mathbb {R}$ hat es die Zerlegung

{}X^{2}-5={\left(X-{\sqrt {5}}\right)}{\left(X+{\sqrt {5}}\right)}\,.

Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.

Beispiel

Eine Gaußsche Zahl ${}z$ ist durch ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei ${}a$ und ${}b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm ${}N$ gegeben, die durch ${}N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch ${}N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${}{\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also ${}N(zw)=N(z)N(w)$ .

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist ${}wz=1$ , so ist auch ${}N(zw)=N(z)N(w)=1$ , also ${}N(z)=1$ . Damit sind genau die Elemente ${}\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.

Lemma

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion

ein euklidischer Bereich.

Beweis

Es seien ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ , ${}z\neq 0$ . Wir betrachten den Quotienten

{}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$ . Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$ . Damit ist

{}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,

mit ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ . Ferner ist

{}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

{}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ , da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.

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Hauptidealbereiche

Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Satz

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

{\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.

Diese Menge hat ein Minimum ${}m$ , das von einem Element ${}b\in I,\,b\neq 0$ , herrührt, sagen wir ${}m=\delta (b)$ . Wir behaupten, dass ${}I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „ ${}\supseteq$ “ klar. Zum Beweis der Inklusion „ ${}\subseteq$ “ sei ${}a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt ${}a=qb+r$ mit ${}r=0$ oder ${}\delta (r)<\delta (b)$ . Wegen ${}r\in I$ und der Minimalität von ${}\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist ${}r=0$ und ${}a$ ist ein Vielfaches von ${}b$ .

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Korollar

Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau

die Teilmengen der Form

${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl ${}d$ .

Beweis

Eine Teilmenge der Form ${}\mathbb {Z} d$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$ . Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$ . Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$ . Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$ . Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$ , also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$ .

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Satz

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Zunächst ist ${}\mathbb {Z}$ ein Integritätsbereich. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {Z}$ ein Ideal. Damit ist ${}I$ insbesondere eine (additive) Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ und hat nach Korollar 5.15 die Gestalt ${}I=\mathbb {Z} d$ . Damit handelt es sich um ein Hauptideal.