Kurs:Lineare Algebra/Teil II/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 2 2 0 4 0 2 6 6 3 0 0 3 40



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem -Vektorraum .
  2. Eine winkeltreue Abbildung

    auf einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.

  3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  6. Ein stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  2. Der Satz über die Untergruppen von .
  3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Es sei ein fixierter Vektor und . Zeige, dass

ein affiner Unterraum von ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des gibt, die unter in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.


Aufgabe * (2 Punkte)

Durch die Punkte sei ein Dreieck mit den Seitenlängen und den Winkeln gegeben. Es sei der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Die lineare Abbildung werde bezüglich der Basis durch die Matrix beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum.

  1. Wir betrachten auf die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung mit gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
  2. Wir betrachten auf die Relation , die durch gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung mit gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  3. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation aus (2).


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und zyklische Gruppen und ihre Produktgruppe. Zeige, dass sich als Untergruppe von realisieren lässt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix