Kurs:Lineare Algebra/Teil II/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	2	2	0	4	0	2	6	6	3	0	0	3	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Ein stabiler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
2. Der Satz über die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor und ${}a\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass

${\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =a\right\}}$

ein affiner Unterraum von ${}V$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit der Eigenschaft, dass es einerseits eine Orthogonalbasis des ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die unter ${}\varphi$ in eine Orthogonalbasis überführt wird, es andererseits aber auch eine Orthogonalbasis gibt, die unter ${}\varphi$ nicht in eine Orthogonalbasis überführt wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.

Aufgabe * (2 Punkte)

Durch die Punkte ${}A,B,C$ sei ein Dreieck mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ gegeben. Es sei ${}F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum.

1. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}R$, die durch ${}uRv$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
2. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}S$, die durch ${}uSv$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
3. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation ${}S$ aus (2).

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Z} /(m)$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ zyklische Gruppen und ${}G=\mathbb {Z} /(m)\times \mathbb {Z} /(n)$ ihre Produktgruppe. Zeige, dass sich ${}G$ als Untergruppe von ${}\operatorname {SO} _{4}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {2}{3}}&0\\{\frac {1}{6}}&0&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}.$