Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 6 0 7 6 1 0 1 0 2 7 0 3 5 44



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Orthogonale Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  3. Ein selbstadjungierter Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.

  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
  6. Eine Körpererweiterung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
  2. Der Charakterisierungssatz für eigentliche Isometrie in der reellen Ebene.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jede Orthonormalbasis , von ist , Teil einer Orthonormalbasis von .
  3. Es gibt eine Orthonormalbasis , von derart, dass , Teil einer Orthonormalbasis von ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu und aus allen Punkten besteht, die zu und den gleichen Abstand haben.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.


Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im auf einen -dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

  1. Zeige, dass die Gruppe nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ist.
  2. Zeige, dass man die Gruppe als Untergruppe der vollen Isometriegruppe realisieren kann.
  3. Cuboid diagonal-orthogonal.png

    Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge gegen eine Matrix konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die universelle Eigenschaft des Dachprodukts.